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→迭代法则的自相似性
===迭代法则的自相似性===
===迭代法则的自相似性===
我们可以将不同时间尺度下的<math>f(x)</math>图像画出来进行直观地比较，从而透彻分析迭代法则<math>f(x)</math>在尺度变换下的自相似性质。首先，画出<math>f(x)</math>在<math>\mu=\hat{\mu^{(1)}}=2</math>的时候，<math>f^{(2)}(x)</math>在<math>\mu=\hat{\mu^{(2)}}=1+\sqrt{5}</math>的时候的函数图像（其中<math>\hat{\mu^{(p)}}</math>为满足相应第p重迭代函数的超稳定周期条件:<math>\frac{\partial{f^{(p)}(\hat{\mu^{(p)}},x)}}{\partial x}|_{x=x^*}=0</math>下对应的参数值）。这两个函数图如下：
[[File:Selfsim1.png|700px|thumb|center|图11 <math>f(x)</math>与<math>f^{(2)}(x)</math>]]
[[File:Selfsim1.png|700px|thumb|center|图11 <math>f(x)</math>与<math>f^{(2)}(x)</math>的函数图]]
可以在这种“超稳定”（metastable）的参数下观察函数的自相似性，如图10所示，每一个分岔点对应了一个分岔“小山峰”，而每个倍分周期的超稳定参数点刚好位于小山峰的“中心”位置，所以，该点附近的迭代法则的相似性就直接对应了不同小山峰之间的相似性。在图11中，右图中的绿色区域刚好和左图全体相似，就好像把左图上下颠倒、左右颠倒，再缩小一定比例<math>\alpha</math>（一个固定的常数，后面可以求出），就得到了右图。
同理再看<math>f^{(2)}(x)</math>与<math>f^{(4)}(x)</math>之间的相似性，如图15中两张图所示。
同理再看<math>f^{(2)}(x)</math>与<math>f^{(4)}(x)</math>之间的相似性，如图12中两张图所示。
[[File:Selfsim2.png|700px|thumb|center|图12 <math>f^{(2)}(x)</math>与<math>f^{(4)}(x)</math>]]
[[File:Selfsim2.png|700px|thumb|center|图12 <math>f^{(2)}(x)</math>与<math>f^{(4)}(x)</math>]]
对于<math>f^{(2)}(x)</math>与<math>f^{(4)}(x)</math>，可以画出当<math>\mu</math>在相应的超稳定周期参数的时候的函数图像。右上图中的蓝色和红色区域刚好与左上图中的蓝色和红色区域相似。它们也是上下颠倒，再进行缩放变换、左右颠倒。如果选择右上图中的蓝、红色区域进行放大得到右下图，同样将左上方图的染色区域放大得到左下图。另外，如果将坐标系原点移到了中心位置（即<math>f(x)=\mu x(1-x)</math>最大值所对应的位置(0.5,0.5)）。
对于<math>f^{(2)}(x)</math>与<math>f^{(4)}(x)</math>，我们可以画出当<math>\mu</math>在相应的超稳定周期参数的时候的函数图像。右上图中的蓝色和红色区域刚好与左上图中的蓝色和红色区域相似。它们也是上下颠倒，再进行缩放变换、左右颠倒。如果选择右上图中的蓝、红色区域进行放大得到右下图，同样将左上方图的染色区域放大得到左下图。另外，如果将坐标系原点移到了中心位置（即<math>f(x)=\mu x(1-x)</math>最大值所对应的位置(0.5,0.5)）。
===图形变换与相似性===
===图形变换与相似性===