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===粗粒化的交换律commutative<ref name=":2" />===

===粗粒化的交换律commutative<ref name=":2" />===

图（1）展示了从某个微观状态<math>s^{(t)}</math>出发，到达下一刻的宏观状态<math>A^{(t+1)}</math>的两条路径<ref name=":7">Coarse graining. ''Encyclopedia of Mathematics.'' URL: <nowiki>http://encyclopediaofmath.org/index.php?title=Coarse_graining&oldid=16170</nowiki></ref>：

图（1）展示了从某个微观状态 <math>s^{(t)}</math> 出发，到达下一刻的宏观状态 <math>A^{(t+1)}</math> 的两条路径<ref name=":7">Coarse graining. ''Encyclopedia of Mathematics.'' URL: <nowiki>http://encyclopediaofmath.org/index.php?title=Coarse_graining&oldid=16170</nowiki></ref>：

# 先经过微观动力学达到<math>s^{(t+1)}</math>，再进行粗粒化得到<math>A^{(t+1)}</math>

# 先经过微观动力学达到 <math>s^{(t+1)}</math>，再进行粗粒化得到 <math>A^{(t+1)}</math>

# 先进行粗粒化得到<math>A^{(t)}</math>，再经过宏观动力学到达<math>A^{(t+1)}</math>

# 先进行粗粒化得到 <math>A^{(t)}</math>，再经过宏观动力学到达 <math>A^{(t+1)}</math>

如果我们把粗粒化和（宏观/微观）动力学看作是两个算子，那这两个算子的可交换性指的是：无论从哪个微观状态分布出发，走这两条路径得到的<math>A^{(t+1)}</math>的分布是一样的，即

如果我们把粗粒化和（宏观/微观）动力学看作是两个算子，那这两个算子的可交换性指的是：无论从哪个微观状态分布出发，走这两条路径得到的 <math>A^{(t+1)}</math> 的分布是一样的，即

{{NumBlk|:|

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以下关于[[动力学的一致性检验]]的描述节选自[[复杂网络中的因果涌现]]：

以下关于[[动力学的一致性检验]]的描述节选自[[复杂网络中的因果涌现]]：

定义微观网络<math>G </math>与宏观网络<math>G_M </math>，分别在两个网络上进行[[随机游走]]。在某个时间<math>t</math>，<math>G</math>上的预期分布为<math>P_m(t)</math>，而<math>G_M </math>上的预期分布为 <math>P_M(t)</math>。

定义微观网络 <math>G</math> 与宏观网络 <math>G_M</math>，分别在两个网络上进行[[随机游走]]。在某个时间 <math>t</math>，<math>G</math> 上的预期分布为 <math>P_m(t)</math>，而 <math>G_M</math> 上的预期分布为 <math>P_M(t)</math>。

将<math>P_m(t) </math>分布叠加到宏观宏观<math>G_M </math>的相同节点上，得到<math>P_{M|m}(t) </math>分布。通过计算<math>P_M(t) </math>和<math>P_{M|m}(t) </math>之间的KL散度来衡量其不一致性（inconsistency）。如果结果为零，则表示动力学一致。公式如下：

将 <math>P_m(t)</math> 分布叠加到宏观宏观 <math>G_M</math> 的相同节点上，得到 <math>P_{M|m}(t)</math> 分布。通过计算 <math>P_M(t)</math> 和 <math>P_{M|m}(t)</math> 之间的KL散度来衡量其不一致性（inconsistency）。如果结果为零，则表示动力学一致。公式如下：

<math>inconsistency=\sum_{t=0}^T D_{KL}[P_M(t)||P_{M|m}(t)]</math>

<math>inconsistency=\sum_{t=0}^T D_{KL}[P_M(t)||P_{M|m}(t)]</math>

具体来说，只需要知道宏观状态 <math>A^{(t)}</math>，就可以最大化 <math>A^{(t+1)}</math> 的预测效果，而微观状态 <math>s^{(t+1)}</math> 虽然能提供一些额外信息，但是对于预测 <math>A^{(t+1)}</math> 并无帮助。

具体来说，只需要知道宏观状态 <math>A^{(t)}</math>，就可以最大化 <math>A^{(t+1)}</math> 的预测效果，而微观状态 <math>s^{(t+1)}</math> 虽然能提供一些额外信息，但是对于预测 <math>A^{(t+1)}</math> 并无帮助。

这意味着条件互信息<math>I(A^{(t+1)}; s^{(t+1)} | A^{(t)}) = 0</math>。宏观动力学不需要任何来自微观状态的修正，就能独立且正确地反映系统在宏观层面上的演化。

这意味着条件互信息 <math>I(A^{(t+1)}; s^{(t+1)} | A^{(t)}) = 0</math>。宏观动力学不需要任何来自微观状态的修正，就能独立且正确地反映系统在宏观层面上的演化。

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微观最大预测性是指，在将微观状态粗粒化为宏观状态后，我们只用宏观状态就能预测'''后续'''的微观状态。

微观最大预测性是指，在将微观状态粗粒化为宏观状态后，我们只用宏观状态就能预测'''后续'''的微观状态。

具体来说，只需要知道宏观状态<math>A^{(t)}</math>，就可以最大化<math>s^{(t+1)}</math>的预测效果。

具体来说，只需要知道宏观状态 <math>A^{(t)}</math>，就可以最大化 <math>s^{(t+1)}</math> 的预测效果。

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==基础划分==

===基础划分===

马尔科夫状态中有一些基础的定义<ref name=":8">概率论与统计学5——马尔科夫链（Markov Chain） - 做大饼馅儿的韭菜的文章 - 知乎 <nowiki>https://zhuanlan.zhihu.com/p/274775796</nowiki></ref>，可以帮助我们对状态进行划分。

马尔科夫状态中有一些基础的定义<ref name=":8">概率论与统计学5——马尔科夫链（Markov Chain） - 做大饼馅儿的韭菜的文章 - 知乎 <nowiki>https://zhuanlan.zhihu.com/p/274775796</nowiki></ref>，可以帮助我们对状态进行划分。

===滑过Transient和常返Recurrent===

====滑过Transient和常返Recurrent====

滑过Transient状态是指从该状态出发后，经过任意n步也不存在回到该状态的可能路径。

滑过Transient状态是指从该状态出发后，经过任意n步也不存在回到该状态的可能路径。

===周期性===

====周期性====

如果一个常返状态组存在步数<math>n>1</math>，且每个常返状态<math>i</math>只会经过<math>n</math>步才会回到<math>i</math>，那么就可以把这个常返状态组分解成<math>n</math>个子集。这里我们借用了知乎上的例子<ref name=":8"/>进行说明：

如果一个常返状态组存在步数 <math>n>1</math>，且每个常返状态 <math>i</math> 只会经过 <math>n</math> 步才会回到 <math>i</math>，那么就可以把这个常返状态组分解成 <math>n</math> 个子集。这里我们借用了知乎上的例子<ref name=":8"/>进行说明：

假设一个马尔科夫链的状态按照这样的周期（步数<math>n=3</math>）循环，

假设一个马尔科夫链的状态按照这样的周期（步数 <math>n=3</math>）循环，

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</math>

</math>

我们就可以把状态划分成<math>\{s_1, s_2\}</math>，<math>\{s_3, s_4, s_5\}</math>，<math>\{s_6\}</math>三个子集。

我们就可以把状态划分成 <math>\{s_1, s_2\}</math>，<math>\{s_3, s_4, s_5\}</math>，<math>\{s_6\}</math> 三个子集。

==成块性==

==成块性==

设<math>p_{s_k \rightarrow s_m} = p(s^{(t)} = s_m | s^{(t-1)} = s_k)</math>，<math>p_{s_k \rightarrow A_i} = p(s^{(t)} \in A_i | s^{(t-1)} = s_k) = \sum_{s_m \in A_i} p_{s_k \rightarrow s_m}</math>，<math>p_{A_i \rightarrow A_j} = p(A^{(t)} = A_j | A^{(t-1)} = A_i)</math>，作者<ref name=":1" />提出了判断一个马尔科夫链对'''给定划分 <math>A</math>''' 是否成块的充分必要条件为：

设<math>p_{s_k \rightarrow s_m} = p(s^{(t)} = s_m | s^{(t-1)} = s_k)</math>，<math>p_{s_k \rightarrow A_i} = p(s^{(t)} \in A_i | s^{(t-1)} = s_k) = \sum_{s_m \in A_i} p_{s_k \rightarrow s_m}</math>，<math>p_{A_i \rightarrow A_j} = p(A^{(t)} = A_j | A^{(t-1)} = A_i)</math>，作者<ref name=":1" />提出了判断一个马尔科夫链对'''给定划分 <math>A</math>''' 是否成块的充分必要条件为：

'''对于任意一对<math>A_i, A_j</math>，每一个属于<math>A_i</math>的状态<math>s_k</math>的<math>p_{s_k \rightarrow A_j}</math>都是一样的。也就是说，<math>A_i</math>里的每一个状态<math>s_k</math>转移到<math>A_j</math>中的所有状态的转移概率之和是相同的，'''  

'''对于任意一对<math>A_i, A_j</math>，每一个属于<math>A_i</math>的状态<math>s_k</math>的<math>p_{s_k \rightarrow A_j}</math>都是一样的。也就是说，<math>A_i</math>里的每一个状态<math>s_k</math>转移到<math>A_j</math>中的所有状态的转移概率之和是相同的，'''