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设我们有粗粒化函数 <math>f</math>，将微观动力学 <math>X_t</math> 粗粒化成宏观动力学 <math>Z_t = f(X_t)</math>。ϵ-机器只能处理在 <math>X</math> 空间上单一尺度的因果态，而作者们提出了另一种机器，υ-machine（υ-机器）来尝试定义跨尺度的计算机器和因果态。他们把因果态定义中的未来状态从微观的 <math>X</math> 改为宏观的 <math>Z</math>，并定义微观状态 <math>X</math> 中的等价关系为

设我们有粗粒化函数 <math>f</math>，将微观动力学 <math>X_t</math> 粗粒化成宏观动力学 <math>Z_t = f(X_t)</math>。ϵ-机器只能处理在 <math>X</math> 空间上单一尺度的因果态，而作者们提出了另一种机器，υ-machine（υ-机器）来尝试定义跨尺度的计算机器和因果态。他们把因果态定义中的未来状态从微观的 <math>X</math> 改为宏观的 <math>Z</math>，并定义微观状态 <math>X</math> 中的等价关系为

<math>\overleftarrow{x_t} \equiv \overleftarrow{x_{t'}} \ \ \text{iff}\ \ p( \overrightarrow{z_t} | \overleftarrow{x_t}) = p(\overrightarrow{z_{t'}}| \overleftarrow{x_{t'}}) </math>

<math>

\overleftarrow{x_t} \equiv \overleftarrow{x_{t'}} \ \ \text{iff}\ \ p( \overrightarrow{z_t} | \overleftarrow{x_t}) = p(\overrightarrow{z_{t'}}| \overleftarrow{x_{t'}})

</math>

也就是说，υ-机器的目标不再是预测 <math>X</math> 的未来轨迹，而是其粗粒化后的 <math>Z</math> 的未来轨迹，并把拥有同样 <math>p(\overrightarrow{z_t}| \overleftarrow{x_t})</math> 的 <math>\overleftarrow{x_t}</math> 和 <math>\overleftarrow{x_{t'}}</math> 定义为υ-机器的因果态，<math>U = \{U_t\}_{t \in \mathbb{N} },\ U_t = υ( \overleftarrow{X_t} ) </math>

也就是说，υ-机器的目标不再是预测 <math>X</math> 的未来轨迹，而是其粗粒化后的 <math>Z</math> 的未来轨迹，并把拥有同样 <math>p(\overrightarrow{z_t}| \overleftarrow{x_t})</math> 的 <math>\overleftarrow{x_t}</math> 和 <math>\overleftarrow{x_{t'}}</math> 定义为υ-机器的因果态，<math>U = \{U_t\}_{t \in \mathbb{N} },\ U_t = υ( \overleftarrow{X_t} ) </math>

因果态对 <math>\overrightarrow{Z_t}</math> 预测能力可以写成信息论的形式，即变量对 <math>\overrightarrow{Z_t}</math> 提供的互信息。<math>Z_t</math> 本身的ϵ-机器和 <math>Z_t = f(X_t)</math> 之间的υ-机器的等价关系可以写成：

因果态对 <math>\overrightarrow{Z_t}</math> 预测能力可以写成信息论的形式，即变量对 <math>\overrightarrow{Z_t}</math> 提供的互信息。<math>Z_t</math> 本身的ϵ-机器和 <math>Z_t = f(X_t)</math> 之间的υ-机器的等价关系可以写成：

<math>I( \overleftarrow{Z_t} ; \overrightarrow{Z_t}) = I( \overleftarrow{X_t} ; \overrightarrow{Z_t})</math>

<math>

I( \overleftarrow{Z_t} ; \overrightarrow{Z_t}) = I( \overleftarrow{X_t} ; \overrightarrow{Z_t})

</math>

 

 

这说明了，宏观的 <math>\overleftarrow{Z_t}</math> 和微观的 <math>\overleftarrow{X_t}</math> 给 <math>\overrightarrow{Z_t}</math> 提供的信息量是一样的。所以，信息闭合是指，对于一个粗粒化后的宏观过程，已知其自身过去的信息 <math>\overleftarrow{Z_t}</math> 就足以进行最优预测，进一步引入底层（微观）<math>\overleftarrow{X_t}</math> 信息也不能提升预测能力。也就是说，微观的信息 <math>\overleftarrow{X_t}</math> 对宏观未来 <math>\overrightarrow{Z_t}</math> 的预测是冗余的。所谓一个尺度在某某方面闭合，便是在说这个尺度上系统可以“自给自足”，不需要再考虑其他尺度。  

这说明了，宏观的 <math>\overleftarrow{Z_t}</math> 和微观的 <math>\overleftarrow{X_t}</math> 给 <math>\overrightarrow{Z_t}</math> 提供的信息量是一样的。所以，信息闭合是指，对于一个粗粒化后的宏观过程，已知其自身过去的信息 <math>\overleftarrow{Z_t}</math> 就足以进行最优预测，进一步引入底层（微观）<math>\overleftarrow{X_t}</math> 信息也不能提升预测能力。也就是说，微观的信息 <math>\overleftarrow{X_t}</math> 对宏观未来 <math>\overrightarrow{Z_t}</math> 的预测是冗余的。所谓一个尺度在某某方面闭合，便是在说这个尺度上系统可以“自给自足”，不需要再考虑其他尺度。