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===计算闭合 Computational Closure===

===计算闭合 Computational Closure===

定义 <math>Z</math> 的 ϵ-机器为计算闭合，当满足：'''存在粗粒化函数 <math>f^*</math>使得<math>E'_t = f^*(E_t)</math>，其中<math>E_t</math> 和 <math>E'_t</math> 分别为 <math>X</math> 和 <math>Z</math> 的ϵ-机器的因果态。'''

定义 <math>Z</math> 的 ϵ-机器为计算闭合，当满足：'''存在粗粒化函数 <math>f^*</math>使得<math>E'_t = f^*(E_t)</math>，其中<math>E_t</math> 和 <math>E'_t</math> 分别为 <math>X</math> 和 <math>Z</math> 的ϵ-机器的因果态。'''

我们把 <math>f</math> 和 <math>f^*</math> 视作粗粒化算子，<math>\epsilon</math> 和 <math>\epsilon'</math> 视作因果态算子，那么我们看到两条路径中的粗粒化算子和因果态算子是可交换的。

我们把 <math>f</math> 和 <math>f^*</math> 视作粗粒化算子，<math>\epsilon</math> 和 <math>\epsilon'</math> 视作因果态算子，那么我们看到两条路径中的粗粒化算子和因果态算子是可交换的。

上面提到过ϵ-机器可以看作最小解释模型，描述了动力学的机制。所以，因果态空间 <math>E</math> 和 <math>E'</math> 可以看作是动力学的‘机制空间’。而计算闭合的一个意义就是指出，这种动力学不仅在本来的变量/状态空间中能够被粗粒化 <math>f</math> ，而且动力学的机制也能够被粗粒化 <math>f^*</math>。所以，当计算闭合时，宏观 <math>Z</math> 空间的机制能通过粗粒化微观 <math>X</math> 空间的机制而获得。

上面提到过 ϵ-机器可以看作最小解释模型，描述了动力学的机制。所以，因果态空间 <math>E</math> 和 <math>E'</math> 可以看作是动力学的‘机制空间’。而计算闭合的一个意义就是指出，这种动力学不仅在本来的变量/状态空间中能够被粗粒化 <math>f</math> ，而且动力学的机制也能够被粗粒化 <math>f^*</math>。所以，当计算闭合时，宏观 <math>Z</math> 空间的机制能通过粗粒化微观 <math>X</math> 空间的机制而获得。

对于一台机器，我们肯定希望它的宏观的计算过程要更加的简洁，也就是说宏观的ϵ-机器最好是微观的ϵ-机器的一种粗粒化。难道宏观机器还可以不是微观机器的粗粒化吗？粗粒化意味着宏观变量是微观变量的单射。这个映射过程可能引入更多的噪音，导致宏观过程的因果态反而比微观的还要多。我们看下面这样一个例子：

对于一台机器，我们肯定希望它的宏观的计算过程要更加的简洁，也就是说宏观的ϵ-机器最好是微观的ϵ-机器的一种粗粒化。难道宏观机器还可以不是微观机器的粗粒化吗？粗粒化意味着宏观变量是微观变量的单射，这个映射过程可能引入更多的噪音，导致宏观过程的因果态反而比微观的还要多。我们看下面这样一个例子：

考虑一个马尔可夫链 <math>X</math>，有三个状态 <math>a</math>、<math>b</math> 和 <math>c</math>，<math>p(a,i)=p(b,i) > 0, \forall i</math>，<math>p(c,b)=0</math>，且 <math>p(b,a) \neq p(c,a)</math>。这样，微观ϵ-机器只有两个因果态，<math>\{a,b\}</math> 和 <math>c</math>。

考虑一个马尔可夫链 <math>X</math>，有三个状态 <math>a</math>、<math>b</math> 和 <math>c</math>，<math>p(a,i)=p(b,i) > 0, \forall i</math>，<math>p(c,b)=0</math>，且 <math>p(b,a) \neq p(c,a)</math>。这样，微观ϵ-机器只有两个因果态，<math>\{a,b\}</math> 和 <math>c</math>。

假设我们的粗粒化分组方案为<math>\{a, \{b,c\}\}</math>，即<math>Z_t = A\ \text{if}\ X_t = a; Z_t = B\ \text{if}\ X_t = b\ or\ c</math>。 可以证明当 <math>Z</math> 连续处于 <math>B</math> 状态的时间越长，<math>X_t = c</math> 的概率就越高（因为  的转移被禁止），所以 <math>Z</math> 不是马尔可夫的。由于 <math>p(b,a) \neq p(c,a)</math>，因此 <math>Z</math> 的ϵ-机器需要区分以不同长度的 <math>B</math> 结尾的历史，例如 <math>\{A, (BA), (BBA), (BBBA)\}</math> 。所以， <math>E'</math> 的因果态数量多于 <math>E</math> 的因果态数量，因此 <math>E'</math> 不可能是 <math>E</math> 的粗粒化。

假设我们的粗粒化分组方案为<math>\{a, \{b,c\}\}</math>，即<math>Z_t = A\ \text{if}\ X_t = a; Z_t = B\ \text{if}\ X_t = b\ or\ c</math>。 可以证明当 <math>Z</math> 连续处于 <math>B</math> 状态的时间越长，<math>X_t = c</math> 的概率就越高（因为  的转移被禁止），所以 <math>Z</math> 不是马尔可夫的。由于 <math>p(b,a) \neq p(c,a)</math>，因此 <math>Z</math> 的ϵ-机器需要区分以不同长度的 <math>B</math> 结尾的历史，例如 <math>\{A, (BA), (BBA), (BBBA)\}</math> 。所以， <math>E'</math> 的因果态数量多于 <math>E</math> 的因果态数量，因此 <math>E'</math> 不可能是 <math>E</math> 的粗粒化。

我们本以为，把底层系统用机器描述后，宏观层的ϵ-机可能只需把底层机器的状态合并即可。但事实远非如此。在这个例子中，原始系统有3个状态，但因为和看起来完全一样，所以微观机器只需要区分  和 两种状态。但宏观的粗粒化选择却是，把和映射到一个宏观状态上。因为底层动力学的特殊性，想预测下一个何时出现，宏观ϵ-机需要记住最近连续出现了几个。也就是说，'''宏观行为实际上增加了记忆长度'''，需要无穷多个不同的因果态，而不仅仅是简单的两种状态。所以，这并不是一个好的、满足计算闭合要求的粗粒化方案。  

我们本以为，把底层系统用机器描述后，宏观层的ϵ-机可能只需把底层机器的状态合并即可。但事实并非如此。在这个例子中，原始系统有3个状态，但因为 <math>a</math> 和 <math>b</math> 看起来完全一样，所以微观机器只需要区分 <math>\{a,b\}</math> 和 <math>c</math> 两种状态。但宏观的粗粒化选择却是，把 <math>b</math> 和 <math>c</math> 映射到一个宏观状态上。因为底层动力学的特殊性，想预测下一个何时出现，宏观ϵ-机需要记住最近连续出现了几个。也就是说，'''宏观行为实际上增加了记忆长度'''，需要无穷多个不同的因果态，而不仅仅是简单的两种状态。所以，这并不是一个好的、满足计算闭合要求的粗粒化方案。  

 

首先，υ-机器的因果态 <math>U_t</math> 是 微观 ϵ-机器的因果态 <math>E_t</math> 的一种粗粒化方案（证明请参照论文<ref name="closure" /> Proposition 2）。而且，因果闭合的条件说明了，<math>U_t</math> 等于宏观 ϵ-机器的因果态 <math>E'_t</math>。所以，<math>E'_t</math> 和 <math>E_t</math> 之间也应该存在粗粒化方案，满足计算闭合的条件。

计算闭合与前面的因果闭合/信息闭合之间的关系是：如果一个粗粒化函数 <math>Z_t = f(X_t)</math> 是因果闭合/信息闭合的，那它一定是计算闭合的。证明请参照[[不同尺度之间的闭合性]]。

===尺度闭合 与 成块性===

===尺度闭合 与 成块性===