更改

===第一步===

===第一步===

在得到基于奇异值的因果涌现之后，和TPM矩阵类似，我们也可以根据逆向动力学的协方差矩阵<math>𝐴^𝑇Σ^{−1}𝐴</math>和正向动力学的协方差矩阵<math>Σ^{−1}</math>的奇异向量，指定在高斯迭代系统上的粗粒化策略，将高维的向量映射到低维空间。基于SVD的理论，<math>𝐴^𝑇Σ^{−1}𝐴</math>和<math>Σ^{−1}</math>都是对称矩阵，因此我们可以直接得到SVD分解

因为<math>𝐴^𝑇Σ^{−1}𝐴</math>和<math>Σ^{−1}</math>都是对称矩阵，所以我们可以得到如下SVD分解：

<blockquote>

<blockquote>

<math>A^T\Sigma^{-1}A=USU^T

<math>A^T\Sigma^{-1}A=U_{f}SU_{f}^T

</math>

</math>

</blockquote>

</blockquote>

和

和

<blockquote>

<blockquote>

<math>\Sigma^{-1}=VKV^T

<math>\Sigma^{-1}=U_{b}KU_{b}^T

</math>

</math>

</blockquote>

</blockquote>

其中<math>S={\rm diag}(s_1,\cdots,s_n)</math>和<math>K={\rm diag}(\kappa_i,\cdots,\kappa_n)</math>分别是奇异值<math>s_1\geq\cdots\geq s_n</math>和<math>\kappa_1\geq\cdots\geq \kappa_n</math>组成的对角矩阵，奇异向量矩阵<math>U=(u_1,\cdots,u_n)</math>和<math>V=(v_1,\cdots,v_n)</math>分别包含了两组奇异值对应的奇异向量，它们也可以被分别看成两个生成空间的正交基。

其中<math>S={\rm diag}(s_1,\cdots,s_n)</math>和<math>K={\rm diag}(\kappa_i,\cdots,\kappa_n)</math>分别是奇异值<math>s_1\geq\cdots\geq s_n</math>和<math>\kappa_1\geq\cdots\geq \kappa_n</math>组成的对角矩阵，奇异向量矩阵<math>U_{f}</math>和<math>U_{b}</math>分别包含了正向动力学（forward）和逆向动力学（backward）两组奇异值对应的奇异向量，它们也可以被分别看成两个生成空间的正交基。值得一提的是，因为<math>𝐴^𝑇Σ^{−1}𝐴</math>和<math>Σ^{−1}</math>都是对称正定的矩阵，所以这里的SVD分解等价于特征值分解，<math>S</math>和<math>K</math>是特征值矩阵，<math>U_{f}</math>和<math>U_{b}</math>是特征向量构成的向量组。

随后我们构造新的奇异值<math>\tilde{S}={\rm diag}(\tilde{s}_1,\cdots,\tilde{s}_{2n})</math>对角矩阵与合并的奇异向量矩阵<math>\tilde{U}=(\tilde{u}_1,\cdots,\tilde{u}_{2n})</math>，其中<math>\tilde{s}_1\geq\cdots\geq\tilde{s}_{2n}</math>刚好是<math>𝐴^𝑇Σ^{−1}𝐴</math>和<math>Σ^{−1}</math>的所有奇异值，<math>s_1\geq\cdots\geq s_n</math>和<math>\kappa_1\geq\cdots\geq \kappa_n</math>，共同从大到小排列后产生的新奇异值谱，<math>\tilde{U}=(\tilde{u}_1,\cdots,\tilde{u}_{2n})</math>是<math>U=(u_1,\cdots,u_n)</math>和<math>V=(v_1,\cdots,v_n)</math>中与<math>\tilde{s}_1\geq\cdots\geq\tilde{s}_{2n}</math>对应的奇异向量。

随后我们构造新的特征值<math>\tilde{S}={\rm diag}(\tilde{s}_1,\cdots,\tilde{s}_{2n})</math>对角矩阵与合并的特征向量组<math>\tilde{U}=(\tilde{u}_1,\cdots,\tilde{u}_{2n})</math>，其中<math>\tilde{s}_1\geq\cdots\geq\tilde{s}_{2n}</math>刚好是<math>𝐴^𝑇Σ^{−1}𝐴</math>和<math>Σ^{−1}</math>的所有特征值共同从大到小排列后产生的新特征值谱，<math>\tilde{U}=(\tilde{u}_1,\cdots,\tilde{u}_{2n})</math>是<math>U_{f}</math>和<math>U_{b}</math>中与<math>\tilde{s}_1\geq\cdots\geq\tilde{s}_{2n}</math>对应的奇异向量。

我们规定阈值<math>\epsilon</math>，在第一步中，我们规定大于<math>\epsilon</math>的<math>\tilde{s}_i</math>数量为<math>r_{\epsilon0}</math>，我们可以将奇异向量矩阵进行分解，得到

给定阈值<math>\epsilon</math>，在第一步中，我们规定大于<math>\epsilon</math>的<math>\tilde{s}_i</math>数量为<math>r_{\epsilon0}</math>。在抛弃掉所有小于阈值的特征值和对应的特征向量后，我们得到

<blockquote>

<blockquote>

<math>

<math>

\tilde{U}=(\tilde{U}_{1},\tilde{U}_{2}),\tilde{U}_{1}\in\mathcal{R}^{n\times r_{\epsilon0}}, \tilde{U}_{2}\in\mathcal{R}^{n\times (2n-r_{\epsilon0})}

\tilde{U}_{1}\in\mathcal{R}^{n\times r_{\epsilon0}}

</math>

</math>

</blockquote>

</blockquote>

===第二步===

===第二步===

由于我们得到的矩阵<math>\tilde{U}_{1}</math>属于空间<math>\mathcal{R}^{n\times r_{\epsilon0}}</math>，而<math>r_{\epsilon0}</math>不一定小于n；同时，由于<math>\tilde{U}_{1}</math>中的列向量<math>\tilde{u}_{1},\cdots,\tilde{u}_{r_\epsilon 0}</math>源于<math>U=(u_1,\cdots,u_n),V=(v_1,\cdots,v_n)</math>两组可以张成n维空间的正交基，无法保证<math>\tilde{u}_{1},\cdots,\tilde{u}_{r_\epsilon 0}</math>彼此之间的线性无关和正交。因此我们无法直接利用其转置对n维向量进行粗粒化，因此还需要第二步SVD分解，来得到真正的正交矩阵。我们利用矩阵<math>\tilde{U}_{1}</math>和<math>\tilde{S}</math>进行第二步SVD分解，得到

我们无法保证<math>\tilde{u}_{1},\cdots,\tilde{u}_{r_\epsilon 0}</math>彼此之间的线性无关和正交，这会导致我们在做粗粒化时会有重复的冗余，比如我们会有两个宏观变量都来自于对同一个微观变量的保留（因为该微观变量的非简并性和确定性都很高）。因此我们还需要第二步SVD分解来避免这种情况。这实际上是要求得新拼成的粗粒化向量组的正交基。于是我们要对有特征值加权的粗粒化向量组进行第二步SVD分解，得到

<blockquote>

<blockquote>

<math>

<math>

</math>

</math>

</blockquote>

</blockquote>

<math>\hat{S}</math>包含矩阵<math>\tilde{U}_{1}\tilde{S}</math>对应的奇异值，用同样的方法得到大于<math>\epsilon</math>的<math>\hat{s}_i</math>数量为<math>r_{\epsilon}</math>后，我们可以再次对左奇异向量矩阵进行分解得到

<math>\hat{S}</math>包含矩阵<math>\tilde{U}_{1}\tilde{S}</math>对应的奇异值。我们用同样的阈值得到大于<math>\epsilon</math>的<math>\hat{s}_i</math>数量为<math>r_{\epsilon}</math>后，我们可以再次截取左奇异向量矩阵，

<blockquote>

<blockquote>

<math>

<math>

</math>

</math>

</blockquote>

</blockquote>

==连续系统具体案例==

==连续系统具体案例==