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→特征函数与特征值
其中<math>\mu</math>是连续时间下的特征值。一般来说，即使状态空间<math>\mathcal{X}</math>和动力学<math>\mathbf{F}(\mathbf{x})</math>是实值的，特征值和特征向量通常分别是复值的标量和函数。
其中<math>\mu</math>是连续时间下的特征值。一般来说，即使状态空间<math>\mathcal{X}</math>和动力学<math>\mathbf{F}(\mathbf{x})</math>是实值的，特征值和特征向量通常分别是复值的标量和函数。
如果我们考虑本身已经是线性的动力学，可以进一步说明线性时间离散动力学<math>\mathbf{x}_{n+1} = \mathbf{A}\mathbf{x}n</math>的特征向量与<math>g_{n+1} = \mathcal{K}g_n</math>的特征函数之间的联系。给定矩阵<math>\mathbf{A}</math>的一个左特征向量<math>\boldsymbol{\xi}^\top \mathbf{A} = \lambda \boldsymbol{\xi}^\top</math>，我们可以构造一个对应的Koopman特征函数如下
如果我们考虑本身已经是线性的动力学，可以进一步说明线性时间离散动力学<math>\mathbf{x}_{n+1} = \mathbf{A}\mathbf{x}_n</math>的特征向量与<math>g_{n+1} = \mathcal{K}g_n</math>的特征函数之间的联系。给定矩阵<math>\mathbf{A}</math>的一个左特征向量<math>\boldsymbol{\xi}^\top \mathbf{A} = \lambda \boldsymbol{\xi}^\top</math>，我们可以构造一个对应的Koopman特征函数如下
<math>
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\mathcal{K}\varphi(\mathbf{x}) = \varphi(\mathbf{A}\mathbf{x}) = \boldsymbol{\xi}^\top \mathbf{A}\mathbf{x} = \lambda \boldsymbol{\xi}^\top \mathbf{x} = \lambda \varphi(\mathbf{x})
\mathcal{K}\varphi(\mathbf{x}) = \varphi(\mathbf{A}\mathbf{x}) = \boldsymbol{\xi}^\top \mathbf{A}\mathbf{x} = \lambda \boldsymbol{\xi}^\top \mathbf{x} = \lambda \varphi(\mathbf{x}).
</math>
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换句话说，<math>\mathbf{A}</math>的右特征向量在状态空间<math>\mathcal{X}</math>中给出了时间不变的方向，这些方向被称为Koopman模或动态模。而左特征向量则对应于Koopman特征函数，在观测空间<math>\mathcal{G}(\mathcal{X})</math>中也同样对应于时间不变的方向。
在一般系统中，一组Koopman特征函数可以用来生成更多的特征函数。在离散时间系统中，我们可以发现，两个特征函数<math>\varphi_1(\mathbf{x})</math>和<math>\varphi_2(\mathbf{x})</math>的乘积同样是一个特征函数，
<math> \mathcal{K} \left(\varphi_1(\mathbf{x}) \varphi_2(\mathbf{x})\right) = \varphi_1(\mathbf{F}(\mathbf{x}))\varphi_2(\mathbf{F}(\mathbf{x})) = \lambda_1\lambda_2 \varphi_1(\mathbf{x}) \varphi_2(\mathbf{x}), </math>
=Koopman算子应用的简单案例=
=Koopman算子应用的简单案例=