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→特征函数与特征值
</math>
</math>
换句话说，<math>\mathbf{A}</math>的右特征向量在状态空间<math>\mathcal{X}</math>中给出了随时间不变的方向。而左特征向量则对应于Koopman特征函数，在观测空间<math>\mathcal{G}(\mathcal{X})</math>中也同样对应于随时间不变的方向。
换句话说，<math>\mathbf{A}</math>的右特征向量在状态空间<math>\mathcal{X}</math>中给出了随时间不变的方向。而左特征向量则对应于Koopman特征函数，在观测空间<math>\mathcal{G}(\mathcal{X})</math>中也同样对应于随时间不变的方向。在一般系统中，一组Koopman特征函数可以用来生成更多的特征函数。在离散时间系统中，我们可以发现，两个特征函数<math>\varphi_1(\mathbf{x})</math>和<math>\varphi_2(\mathbf{x})</math>的乘积同样是一个特征函数，
<math> \mathcal{K} \left(\varphi_1(\mathbf{x}) \varphi_2(\mathbf{x})\right) = \varphi_1(\mathbf{F}(\mathbf{x}))\varphi_2(\mathbf{F}(\mathbf{x})) = \lambda_1\lambda_2 \varphi_1(\mathbf{x}) \varphi_2(\mathbf{x}). </math>
<math> \mathcal{K} \left(\varphi_1(\mathbf{x}) \varphi_2(\mathbf{x})\right) = \varphi_1(\mathbf{F}(\mathbf{x}))\varphi_2(\mathbf{F}(\mathbf{x})) = \lambda_1\lambda_2 \varphi_1(\mathbf{x}) \varphi_2(\mathbf{x}), </math>
代数上，当观测空间在乘法下封闭时，Koopman特征函数的集合在逐点乘法下形成一个[[交换幺半群]]。这样一来，根据具体的动力系统，可能存在有限组生成元特征函数元素，可以用来构建所有其他特征函数。特征函数集合的基数及其内部关系在文献<ref name=Bollt_2021>E. Bollt, Geometric considerations of a good dictionary for Koopman analysis of dynamical systems: Cardinality, ``primary eigenfunction,"" and efficient representation, Comm.
Nonlinear Sci. Numer. Simul., 100 (2021), art. 105833. (Cited on pp. 242, 276)</ref>中有更具体的介绍。对应的Koopman特征值根据形成乘法格，或者，若是Lie特征值，则形成加法格。
可以由特征函数线性组合构成的观测量，即
<math>
g(\mathbf{x}) \in \mathrm{span}{\varphi_k}_{k=1}^K
</math>，在Koopman算子作用下具有极为简单的演化关系：
<math>
g(\mathbf{x}) = \sum_k v_k \varphi_k
\implies
\mathcal{K}^t g(\mathbf{x}) = \sum_k v_k \lambda_k^t \varphi_k.
</math>
这意味着子空间 <math>\mathrm{span}{\varphi_k}_{k=1}^K</math> 在Koopman算子 <math>\mathcal{K}</math> 的作用下是不变的。
这些简单关系使得用水平集分析动力系统的相空间成为可能，也利于分析一般观测量分解到特征函数下的时间演化。这些理论为Koopman模式分解和动力学模式分解（DMD）方法奠定了基础。
=Koopman算子应用的简单案例=
=Koopman算子应用的简单案例=