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<math> \mathcal{K}^t g(x) = g\left( F^t(x) \right) </math>   

<math> \mathcal{K}^t g(x) = g\left( F^t(x) \right) </math>   

式中， <math> \mathcal{K}^t </math>为连续时间Koopman算子，参数<math> t </math> 表示演化时间长度； <math> g(x) </math>为任意观测函数（输入），如 <math> g(x) = x_1 </math>（状态第一分量）、<math> \varphi </math>（状态模长平方）； <math> F^t(x) </math>为流映射，将初始状态 <math> x </math>沿动力学轨迹推进时间 <math> t </math>，即 <math> F^t(x) = x(t) </math>； <math> g\left( F^t(x) \right) </math>为观测函数的演化结果（输出），表示“先让状态<math> x </math>演化时间 <math> t

式中， <math> \mathcal{K}^t </math>为连续时间Koopman算子，参数<math> t </math> 表示演化时间长度； <math> g(x) </math>为任意观测函数，如 <math> g(x) = x_1 </math>（状态第一分量）、<math> \varphi </math>（状态模长平方）等等； <math> F^t(x) </math>为流映射，将初始状态 <math> x </math>沿动力学轨迹推进时间 <math> t </math>，即 <math> F^t(x) = x(t) </math>； <math> g\left( F^t(x) \right) </math>为观测函数的演化结果，表示“先让状态<math> x </math>演化时间 <math> t

  </math>，再对演化后的状态进行观测”；<math> \mathcal{K}^t </math>不改变观测函数的形式，仅通过流映射<math> F^t </math> 改变观测函数的输入（状态），从而实现观测函数的“被动演化”。

  </math>，再对演化后的状态进行观测”；<math> \mathcal{K}^t </math>不改变观测函数的形式，仅在观测空间描述观测函数观测量的演化。

对于光滑的观测函数 <math> g </math>，连续时间Koopman算子的瞬时演化<math> t \to 0 </math>可通过无穷小生成元 <math> \mathcal{L} </math>（Lie算子，详细见下面与其他算子的关系-Lie算子）描述，定义为：  

对于光滑的观测函数 <math> g </math>，连续时间Koopman算子的瞬时演化<math> t \to 0 </math>可通过无穷小生成元 <math> \mathcal{L} </math>（Lie算子，详细见下面与其他算子的关系-Lie算子）描述，定义为：  

<math> \mathcal{L} g(x) = \nabla g(x) \cdot f(x) </math>  

<math> \mathcal{L} g(x) = \nabla g(x) \cdot f(x) </math>  

式中， <math> \nabla g(x) </math>为观测函数<math> g </math> 在状态<math> x </math> 处的梯度（ <math> n </math>维向量），即 <math> \nabla g = \left( \frac{\partial g}{\partial x_1},\frac{\partial g}{\partial x_2},\dots, \frac{\partial g}{\partial x_n} \right)^T </math> ；<math> f(x) </math> 为系统的向量场，描述状态的瞬时变化率； <math> \cdot </math>为向量点积，结果为标量；生成元 <math> \mathcal{L} g </math>表示观测函数 <math> g </math>随状态演化的瞬时变化率，即<math> \mathcal{L} g(x) = \frac{d}{dt} g(x(t)) </math> 。  

式中， <math> \nabla g(x) </math>为观测函数<math> g </math> 在状态<math> x </math> 处的梯度（ <math> n </math>维向量），即 <math> \nabla g = \left( \frac{\partial g}{\partial x_1},\frac{\partial g}{\partial x_2},\dots, \frac{\partial g}{\partial x_n} \right)^T </math> ；<math> f(x) </math> 为系统的向量场，描述状态的瞬时变化率； <math> \cdot </math>为向量点积，结果为标量；生成元 <math> \mathcal{L} g </math>表示观测函数 <math> g </math>随状态演化的瞬时变化率，即<math> \mathcal{L} g(x) = \frac{d}{dt} g(x(t)) </math> 。

== 随机动力系统 ==

== 随机动力系统 ==