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===理论===

===理论===

给定一组观测函数字典<math>\{\psi_1, \dots, \psi_{N_K}\} \subset D(\mathcal{K})(D(\mathcal{K})</math>为<math>\mathcal{K}</math>的定义域），EDMD 的目标是在子空间<math>V_{N_K} = \text{span}\{\psi_1, \dots, \psi_{N_K}\}</math>上近似<math>\mathcal{K}</math>的作用，即满足：

给定一组观测函数字典<math>\{\psi_1, \dots, \psi_{N_K}\} \subset D(\mathcal{K})(D(\mathcal{K})</math>为<math>\mathcal{K}</math>的定义域），EDMD 的目标是在子空间<math>V_{N_K} = \text{span}\{\psi_1, \dots, \psi_{N_K}\}</math>上近似<math>\mathcal{K}</math>的作用，即满足：

<math>[\mathcal{K}\psi_j](\boldsymbol{x}) = \psi_j(F(\boldsymbol{x})) \approx \sum_{i=1}^{N_K} (K_{\text{EDMD}})_{ij} \psi_i(\boldsymbol{x}), \quad 1 \leq j \leq N_K.</math>

<math>[\mathcal{K}\psi_j](\boldsymbol{x}) = \psi_j(F(\boldsymbol{x})) \approx \sum_{i=1}^{N_K} (K_{\text{EDMD}})_{ij} \psi_i(\boldsymbol{x}), \quad 1 \leq j \leq N_K.</math>

定义向量值特征映射<math>\Psi(\boldsymbol{x}) = [\psi_1(\boldsymbol{x}), \dots, \psi_{N_K}(\boldsymbol{x})] \in \mathbb{C}^{1 \times N_K}</math>，则子空间<math>V_{N_K}</math>中的任意观测函数g可表示为<math>g(\boldsymbol{x}) = \sum_{j=1}^{N_K} \psi_j(\boldsymbol{x}) g_j = \Psi(\boldsymbol{x}) \boldsymbol{g}</math>（其中<math>\boldsymbol{g} \in \mathbb{C}^{N_K}</math>为系数向量）。由此可将库普曼算子对g的作用分解为：

 

定义向量值特征映射<math>\Psi(\boldsymbol{x}) = [\psi_1(\boldsymbol{x}), \dots, \psi_{N_K}(\boldsymbol{x})] \in \mathbb{C}^{1 \times N_K}</math>，则子空间<math>V_{N_K}</math>中的任意观测函数g可表示为

 

<math>g(\boldsymbol{x}) = \sum_{j=1}^{N_K} \psi_j(\boldsymbol{x}) g_j = \Psi(\boldsymbol{x}) \boldsymbol{g}</math>

 

其中<math>\boldsymbol{g} \in \mathbb{C}^{N_K}</math>为系数向量。由此可将库普曼算子对g的作用分解为：

 

<math>[\mathcal{K}g](\boldsymbol{x}) = \Psi(F(\boldsymbol{x})) \boldsymbol{g} = \Psi(\boldsymbol{x}) (K_{\text{EDMD}} \boldsymbol{g}) + \underbrace{\sum_{j=1}^{N_K} \psi_j(F(\boldsymbol{x})) g_j - \Psi(\boldsymbol{x}) (K_{\text{EDMD}} \boldsymbol{g})}_{r(g, \boldsymbol{x})}.</math>

<math>[\mathcal{K}g](\boldsymbol{x}) = \Psi(F(\boldsymbol{x})) \boldsymbol{g} = \Psi(\boldsymbol{x}) (K_{\text{EDMD}} \boldsymbol{g}) + \underbrace{\sum_{j=1}^{N_K} \psi_j(F(\boldsymbol{x})) g_j - \Psi(\boldsymbol{x}) (K_{\text{EDMD}} \boldsymbol{g})}_{r(g, \boldsymbol{x})}.</math>

右图体现积分规则的性能差异，以 “数据点数量M” 为横轴、“核心矩阵元素最大绝对误差” 为纵轴（对数坐标），误差定义为：

右图体现积分规则的性能差异，以 “数据点数量M” 为横轴、“核心矩阵元素最大绝对误差” 为纵轴（对数坐标），误差定义为：

<math>err = \max_{1 \leq j,k \leq N_K} \left| (\Psi_X^* W \Psi_Y)_{jk} - \langle K\psi_k, \psi_j \rangle \right|</math>，

<math>err = \max_{1 \leq j,k \leq N_K} \left| (\Psi_X^* W \Psi_Y)_{jk} - \langle K\psi_k, \psi_j \rangle \right|</math>，

其中<math>\langle K\psi_k, \psi_j \rangle</math>为 Koopman 算子 inner product 的真实值（作为误差基准）。结果显示不同积分规则的收敛速率差异显著：高斯 - 勒让德规则指数收敛；梯形规则<math>O(M^{-2})</math>；黎曼和规则<math>O(M^{-1})</math>；蒙特卡洛规则<math>O(M^{-1/2})</math>。

其中<math>\langle K\psi_k, \psi_j \rangle</math>为 Koopman 算子 inner product 的真实值（作为误差基准）。结果显示不同积分规则的收敛速率差异显著：高斯 - 勒让德规则指数收敛；梯形规则<math>O(M^{-2})</math>；黎曼和规则<math>O(M^{-1})</math>；蒙特卡洛规则<math>O(M^{-1/2})</math>。

==核DMD==

==核DMD==