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第427行： − + − 1. 计算三个核心矩阵：<math>\Psi_X^* W \Psi_X</math>、<math>\Psi_X^* W \Psi_Y</math>、<math>\Psi_Y^* W \Psi_Y</math>（<math>\Psi_X/\Psi_Y</math>为字典在<math>x/y</math>上的取值矩阵，<math>W</math>为权重对角矩阵）。+ − 2. 求解广义特征值问题：<math>(\Psi_X^* W \Psi_Y)g = \lambda(\Psi_X^* W \Psi_X)g</math>，得到候选特征对。+ − 3. 计算每个候选特征对的残差<math>res(\lambda_j, g_j)</math>（衡量特征对与真实Koopman算子的契合度）。+ − 4. 丢弃残差大于<math>\epsilon</math>的伪特征对，保留满足精度的有效特征对。+ + − 提取Koopman算子的离散谱（特征值）及对应特征函数，无虚假特征值污染。 − 适用于需要明确系统主导模态的场景（如流体动力学中的振荡模态、分子动力学中的关键运动模式）。 − ResDMD计算ε-伪谱估计算法：扩展算法2的功能，计算Koopman算子的<math>\epsilon</math>-伪谱，弥补特征值无法反映的非正规算子暂态行为和谱分布信息。+ + + + + − 快照数据：<math>{x^{(j)}\}_{j=1}^M</math>（初始状态）、<math>{y^{(j)}=F(x^{(j)})\}_{j=1}^M</math>（下一时刻状态） − 积分权重：<math>{w_j\}_{j=1}^M</math>（用于数值积分近似） − 观测字典：<math>{\psi_j\}_{j=1}^{N_K}</math>（刻画系统状态的观测函数集合） − 精度目标：<math>epsilon>0</math>（残差阈值） − 复平面网格：<math>\{z_1,...,z_k\} \subset \mathbb{C}</math>（待评估的谱区域网格点） − 输出+ − + − + + + + + + + + + − 算法过程+ − 1. 计算三个核心矩阵：<math>\Psi_X^* W \Psi_X</math>、<math>\Psi_X^* W \Psi_Y</math>、<math>\Psi_Y^* W \Psi_Y</math>（<math>\Psi_X/\Psi_Y</math>为字典在<math>x/y</math>上的取值矩阵，<math>W</math>为权重对角矩阵）。+ − 2. 对每个网格点<math>z_j</math>，求解最小残差<math>\tau_j = \min_{g \in \mathbb{C}^{N_K}} res(z_j, \Psi g)</math>（转化为广义SVD问题）。+ − 3. 筛选出最小残差<math>\tau_j < \epsilon</math>的网格点，构成<math>\epsilon</math>-伪谱。 − + − + − + + 第481行：
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→算法
输出：
输出：
准确特征对集合：<math>{(\lambda_j, g_j) \mid res(\lambda_j, g_j) \leq \epsilon\}<math>（<math>\lambda_j</math>为特征值，<math>g_j</math>为近似特征函数）
* 准确特征对集合：<math>{(\lambda_j, g_j) \mid res(\lambda_j, g_j) \leq \epsilon\}<math>（<math>\lambda_j</math>为特征值，<math>g_j</math>为近似特征函数）
算法过程：
算法过程：
# 计算三个核心矩阵：<math>\Psi_X^* W \Psi_X</math>、<math>\Psi_X^* W \Psi_Y</math>、<math>\Psi_Y^* W \Psi_Y</math>（<math>\Psi_X/\Psi_Y</math>为字典在<math>x/y</math>上的取值矩阵，<math>W</math>为权重对角矩阵）。
# 求解广义特征值问题：<math>(\Psi_X^* W \Psi_Y)g = \lambda(\Psi_X^* W \Psi_X)g</math>，得到候选特征对。
# 计算每个候选特征对的残差<math>res(\lambda_j, g_j)</math>（衡量特征对与真实Koopman算子的契合度）。
# 丢弃残差大于<math>\epsilon</math>的伪特征对，保留满足精度的有效特征对。
核心用处：
核心用处：
* 提取Koopman算子的离散谱（特征值）及对应特征函数，无虚假特征值污染。
* 适用于需要明确系统主导模态的场景（如流体动力学中的振荡模态、分子动力学中的关键运动模式）。
二、ResDMD计算ε-伪谱估计算法：扩展算法2的功能，计算Koopman算子的<math>\epsilon</math>-伪谱，弥补特征值无法反映的非正规算子暂态行为和谱分布信息。
输入：
输入：
* 快照数据：<math>{x^{(j)}\}_{j=1}^M</math>（初始状态）、<math>{y^{(j)}=F(x^{(j)})\}_{j=1}^M</math>（下一时刻状态）
<math>\epsilon</math>-伪谱估计：<math>\{z_j \mid \tau_j < \epsilon\}</math>（<math>\tau_j</math>为网格点<math>z_j</math>的最小残差）
* 积分权重：<math>{w_j\}_{j=1}^M</math>（用于数值积分近似） 观测字典：<math>{\psi_j\}_{j=1}^{N_K}</math>（刻画系统状态的观测函数集合）
近似特征函数：<math>\{g_j \mid \tau_j < \epsilon\}</math>（对应伪谱区域的<math>\epsilon</math>-近似特征函数）
* 精度目标：<math>epsilon>0</math>（残差阈值）
* 复平面网格：<math>\{z_1,...,z_k\} \subset \mathbb{C}</math>（待评估的谱区域网格点）
输出：
* <math>\epsilon</math>-伪谱估计：<math>\{z_j \mid \tau_j < \epsilon\}</math>（<math>\tau_j</math>为网格点<math>z_j</math>的最小残差）
* 近似特征函数：<math>\{g_j \mid \tau_j < \epsilon\}</math>（对应伪谱区域的<math>\epsilon</math>-近似特征函数）
算法过程：
# 计算三个核心矩阵：<math>\Psi_X^* W \Psi_X</math>、<math>\Psi_X^* W \Psi_Y</math>、<math>\Psi_Y^* W \Psi_Y</math>（<math>\Psi_X/\Psi_Y</math>为字典在<math>x/y</math>上的取值矩阵，<math>W</math>为权重对角矩阵）。
# 对每个网格点<math>z_j</math>，求解最小残差<math>\tau_j = \min_{g \in \mathbb{C}^{N_K}} res(z_j, \Psi g)</math>（转化为广义SVD问题）。
# 筛选出最小残差<math>\tau_j < \epsilon</math>的网格点，构成<math>\epsilon</math>-伪谱。
核心用处：
核心用处：
检测谱污染：区分真实谱区域与虚假特征值。
刻画非正规系统：伪谱可反映系统暂态行为（如湍流的短期演化、混沌系统的局部稳定性）。
* 检测谱污染：区分真实谱区域与虚假特征值。
验证特征值可靠性：位于伪谱内的特征值才是可信的。
* 刻画非正规系统：伪谱可反映系统暂态行为（如湍流的短期演化、混沌系统的局部稳定性）。
* 验证特征值可靠性：位于伪谱内的特征值才是可信的。
===例子===
===例子===
实验数据为快照对<math>{(x^{(j)}, y^{(j)})\}_{j=1}^M</math>，其中<math>(y^{(j)}=F(x^{(j)})</math>（F为高斯迭代映射），<math>x^{(j)}</math>的采样方式与权重随积分规则变化，共测试 4 类典型积分规则：
实验数据为快照对<math>{(x^{(j)}, y^{(j)})\}_{j=1}^M</math>，其中<math>(y^{(j)}=F(x^{(j)})</math>（F为高斯迭代映射），<math>x^{(j)}</math>的采样方式与权重随积分规则变化，共测试 4 类典型积分规则：
高斯 - 勒让德规则：采样点：移植到<math>[-1,0]</math>的高斯 - 勒让德节点（最优多项式积分节点）；权重：对应规则的标准权重。
* 高斯 - 勒让德规则：采样点：移植到<math>[-1,0]</math>的高斯 - 勒让德节点（最优多项式积分节点）；权重：对应规则的标准权重。
梯形规则采样点：等距点<math>x^{(j)} = -1 + \frac{j-1}{M-1}</math><math>(j=1,2,...,M)</math>；权重：端点<math>w_1=w_M=\frac{1}{2(M-1)}</math>，中间点<math>w_j=\frac{1}{M-1}</math>。
* 梯形规则采样点：等距点<math>x^{(j)} = -1 + \frac{j-1}{M-1}</math><math>(j=1,2,...,M)</math>；权重：端点<math>w_1=w_M=\frac{1}{2(M-1)}</math>，中间点<math>w_j=\frac{1}{M-1}</math>。
黎曼和规则采样点：与梯形规则一致；权重：所有权重<math>w_j=\frac{1}{M-1}</math>（不调整端点权重，作为基础对照）。
* 黎曼和规则采样点：与梯形规则一致；权重：所有权重<math>w_j=\frac{1}{M-1}</math>（不调整端点权重，作为基础对照）。
蒙特卡洛规则采样点：从<math>[-1,0]</math>的均匀分布中随机抽取；权重：所有权重<math>w_j=\frac{1}{M}</math>（模拟高维系统随机采样场景）。
* 蒙特卡洛规则采样点：从<math>[-1,0]</math>的均匀分布中随机抽取；权重：所有权重<math>w_j=\frac{1}{M}</math>（模拟高维系统随机采样场景）。
左图验证 ResDMD 的谱污染剔除能力，以复平面（横轴<math>Re(\lambda)</math>、纵轴<math>Im(\lambda)</math>）为背景，黑色曲线是伪谱轮廓，分别对应<math>\epsilon=0.001,0.01,0.1,0.3</math>的<math>\epsilon</math>- 伪谱，定义为：<math>\sigma_\epsilon(K) = cl\left(\{\lambda \in \mathbb{C} \mid \|(K - \lambda)^{-1}\| > 1/\epsilon\}\right)</math>。其中<math>cl(\cdot)</math>表示集合的闭包，K为 Koopman 算子。品红色圆点为传统 EDMD 特征值，大量特征值位于伪谱之外，这些是离散化导致的谱污染（虚假特征值），无法反映系统真实动力学，例如虚部 > 0.5 的特征值对应不存在的高频振荡，与高斯迭代映射的实际动力学矛盾。蓝色叉号为ResDMD 筛选特征值，所有特征值均位于<math>\epsilon=0.01</math>的伪谱内。
左图验证 ResDMD 的谱污染剔除能力，以复平面（横轴<math>Re(\lambda)</math>、纵轴<math>Im(\lambda)</math>）为背景，黑色曲线是伪谱轮廓，分别对应<math>\epsilon=0.001,0.01,0.1,0.3</math>的<math>\epsilon</math>- 伪谱，定义为：<math>\sigma_\epsilon(K) = cl\left(\{\lambda \in \mathbb{C} \mid \|(K - \lambda)^{-1}\| > 1/\epsilon\}\right)</math>。其中<math>cl(\cdot)</math>表示集合的闭包，K为 Koopman 算子。品红色圆点为传统 EDMD 特征值，大量特征值位于伪谱之外，这些是离散化导致的谱污染（虚假特征值），无法反映系统真实动力学，例如虚部 > 0.5 的特征值对应不存在的高频振荡，与高斯迭代映射的实际动力学矛盾。蓝色叉号为ResDMD 筛选特征值，所有特征值均位于<math>\epsilon=0.01</math>的伪谱内。