更改

==残差DMD==

==残差DMD==

在动力系统研究中，Koopman算子理论通过全局线性化为分析非线性系统提供框架，但传统方法如扩展动态模式分解（EDMD）面临谱污染、连续谱处理不足和高维挑战等局限。残差动态模式分解（ResDMD）通过引入残差计算机制，构建Koopman算子<math>\mathcal{K}</math>及其伴随算子与自身的乘积<math>\mathcal{K}^* \mathcal{K}</math>的[[Galerkin近似]]，有效区分真实特征值与伪特征值，解决了EDMD因有限维假设和离散化误差导致的谱失真问题。

在动力系统研究中，Koopman算子理论通过全局线性化为分析非线性系统提供框架，但传统方法如扩展动态模式分解（EDMD）面临谱污染、连续谱处理不足和高维挑战等局限。残差动态模式分解（ResDMD）通过引入残差计算机制，构建Koopman算子<math>\mathcal{K}</math>及其伴随算子与自身的乘积<math>\mathcal{K}^* \mathcal{K}</math>的[[Galerkin近似]]，有效区分真实特征值与伪特征值，解决了EDMD因有限维假设和离散化误差导致的谱失真问题。

===理论===

===理论===

给定一组观测函数字典<math>\{\psi_1, \dots, \psi_{N_K}\} \subset D(\mathcal{K})(D(\mathcal{K})</math>为<math>\mathcal{K}</math>的定义域），如一系列的多项式，EDMD 的目标是在子空间<math>V_{N_K} = \text{span}\{\psi_1, \dots, \psi_{N_K}\}</math>上近似<math>\mathcal{K}</math>的作用，即满足：

给定一组观测函数字典<math>\{\psi_1, \dots, \psi_{N_K}\} \subset D(\mathcal{K})(D(\mathcal{K})</math>为<math>\mathcal{K}</math>的定义域），如一系列的多项式，EDMD 的目标是在子空间<math>V_{N_K} = \text{span}\{\psi_1, \dots, \psi_{N_K}\}</math>上近似<math>\mathcal{K}</math>的作用，即满足<ref name=Colbrook_2023>Colbrook, M. J., Ayton, L. J. & Szőke, M. Residual dynamic mode decomposition: Robust and verified koopmanism. J. Fluid Mech. 955, A21 (2023).</ref><ref name=Colbrook_2024>Colbrook, M. J. & Townsend, A. Rigorous data‐driven computation of spectral properties of koopman operators for dynamical systems. Commun. Pure Appl. Math. 77, 221–283 (2024).</ref>：

<math>[\mathcal{K}\psi_j](\boldsymbol{x}) = \psi_j(F(\boldsymbol{x})) \approx \sum_{i=1}^{N_K} (K_{\text{EDMD}})_{ij} \psi_i(\boldsymbol{x}), \quad 1 \leq j \leq N_K.</math>

<math>[\mathcal{K}\psi_j](\boldsymbol{x}) = \psi_j(F(\boldsymbol{x})) \approx \sum_{i=1}^{N_K} (K_{\text{EDMD}})_{ij} \psi_i(\boldsymbol{x}), \quad 1 \leq j \leq N_K.</math>

核动态模式分解（Kernel Dynamic Mode Decomposition）是一种通过核技巧（kernel trick）在再生核希尔伯特空间（Reproducing Kernel Hilbert Space，RKHS）中近似非线性动力系统的Koopman算子的方法。Koopman算子本身是一个线性算子，但作用于无限维的函数空间，这使得直接计算变得困难。核DMD通过引入核函数来隐式地处理高维特征映射，从而避免显式构造高维向量，同时捕捉系统的非线性特性。

核动态模式分解（Kernel Dynamic Mode Decomposition）是一种通过核技巧（kernel trick）在再生核希尔伯特空间（Reproducing Kernel Hilbert Space，RKHS）中近似非线性动力系统的Koopman算子的方法。Koopman算子本身是一个线性算子，但作用于无限维的函数空间，这使得直接计算变得困难。核DMD通过引入核函数来隐式地处理高维特征映射，从而避免显式构造高维向量，同时捕捉系统的非线性特性。

具体来说，核函数<math>k(\mathbf{x}, \mathbf{y})</math>用于度量数据点<math>\mathbf{x}</math>和<math>\mathbf{y}</math>之间的相似性，它对应于一个特征映射<math>\phi(\mathbf{x})</math>，使得

具体来说，核函数<math>k(\mathbf{x}, \mathbf{y})</math>用于度量数据点<math>\mathbf{x}</math>和<math>\mathbf{y}</math>之间的相似性，它对应于一个特征映射<math>\phi(\mathbf{x})</math>，使得<ref name=william_2015_kernal>M. O. Williams, C. W. Rowley, and I. G. Kevrekidis, A kernel approach to data-driven Koopman spectral analysis, J. Comput. Dynam., 2 (2015), pp. 247--265. (Cited on pp. 255, 256, 284, 285, 294, 318)</ref><ref name=Gonzalez_2023_kernal>Gonzalez, E., Abudia, M., Jury, M., Kamalapurkar, R. & Rosenfeld, J. A. The kernel perspective on dynamic mode decomposition. Preprint at https://doi.org/10.48550/arXiv.2106.00106 (2023).</ref>

<math>k(\mathbf{x}, \mathbf{y}) = \langle \phi(\mathbf{x}), \phi(\mathbf{y}) \rangle</math>，

<math>k(\mathbf{x}, \mathbf{y}) = \langle \phi(\mathbf{x}), \phi(\mathbf{y}) \rangle</math>，

核DMD的适用场景广泛，包括动力系统分析、预测建模和控制设计。例如，在流体动力学中，核DMD可以识别湍流中的相干结构，而在神经网络应用中，它能近似非线性动力学的演化。然而，核函数的选择（如高斯核、多项式核或线性核）对性能有显著影响，需要根据具体系统进行调整。总之，核DMD提供了一种高效且灵活的方式来扩展线性DMD，使其适用于现实世界中的非线性问题，同时保持了Koopman理论的理论严谨性。

核DMD的适用场景广泛，包括动力系统分析、预测建模和控制设计。例如，在流体动力学中，核DMD可以识别湍流中的相干结构，而在神经网络应用中，它能近似非线性动力学的演化。然而，核函数的选择（如高斯核、多项式核或线性核）对性能有显著影响，需要根据具体系统进行调整。总之，核DMD提供了一种高效且灵活的方式来扩展线性DMD，使其适用于现实世界中的非线性问题，同时保持了Koopman理论的理论严谨性。

==基于神经网络的DMD==

==基于神经网络的DMD==