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'''径向基函数核（Radial Basis Function Kernel）'''的公式为：<math>k(\mathbf{x}, \mathbf{y}) = f(|\mathbf{x} - \mathbf{y}|)</math>  ，其中，<math>f(\cdot)</math>为关于距离的单调递减函数。高斯核和拉普拉斯核均属此类特例。径向基函数核的共性是利用数据点间的距离度量相似性，适用于局部平滑的动力系统。其优势在于能自动适应数据分布，无需预先假设特定函数形式。在动力系统分析中，径向基函数核能有效捕捉相空间中的局部动力学特征，如吸引子结构或稳定流形。缺点是当系统维度较高时，可能面临"[[维度灾难]]"，且计算成本随数据量增加而显著增长。

'''径向基函数核（Radial Basis Function Kernel）'''的公式为：<math>k(\mathbf{x}, \mathbf{y}) = f(|\mathbf{x} - \mathbf{y}|)</math>  ，其中，<math>f(\cdot)</math>为关于距离的单调递减函数。高斯核和拉普拉斯核均属此类特例。径向基函数核的共性是利用数据点间的距离度量相似性，适用于局部平滑的动力系统。其优势在于能自动适应数据分布，无需预先假设特定函数形式。在动力系统分析中，径向基函数核能有效捕捉相空间中的局部动力学特征，如吸引子结构或稳定流形。缺点是当系统维度较高时，可能面临"[[维度灾难]]"，且计算成本随数据量增加而显著增长。

'''高斯核（Gaussian Kernel）'''： <math>k(\mathbf{x}, \mathbf{y}) = \exp\left(-\frac{\mathbf{x} - \mathbf{y}}{\alpha}\right)</math>  ，其中， <math>\mathbf{x} - \mathbf{y}</math> 表示数据点 <math>\mathbf{x}</math> 和 <math>\mathbf{y}</math> 之间的[[欧氏距离]]，用于量化它们的空间分离程度。<math>\alpha</math> 是带宽参数（缩放因子），控制核函数的衰减速率；较小的 <math>\alpha</math> 使核更局部化，较大的 <math>\alpha</math> 使核更平滑。<math>\exp</math> 是指数函数，确保相似性随距离增加而指数衰减。该核函数能捕捉数据的局部结构，并对噪声有一定的鲁棒性；但对参数 <math>\alpha</math> 的选择敏感，若选择不当可能导致[[过拟合]]或[[欠拟合]]。在核DMD中，高斯核适用于非线性动力系统分析，如[[流体湍流]]或[[混沌系统]]，能有效识别相干结构。

'''高斯核（Gaussian Kernel）'''： <math>k(\mathbf{x}, \mathbf{y}) = \exp\left(-\frac{\mathbf{x} - \mathbf{y}}{\alpha}\right)</math>  ，其中， <math>\mathbf{x} - \mathbf{y}</math> 表示数据点 <math>\mathbf{x}</math> 和 <math>\mathbf{y}</math> 之间的[[欧氏距离]]，用于量化它们的空间分离程度。<math>\alpha</math> 是带宽参数（缩放因子），控制核函数的衰减速率；较小的 <math>\alpha</math> 使核更局部化，较大的 <math>\alpha</math> 使核更平滑。<math>\exp</math> 是指数函数，确保相似性随距离增加而指数衰减。该核函数能捕捉数据的局部结构，并对噪声有一定的[[鲁棒性]]；但对参数 <math>\alpha</math> 的选择敏感，若选择不当可能导致[[过拟合]]或[[欠拟合]]。在核DMD中，高斯核适用于非线性动力系统分析，如[[流体湍流]]或[[混沌系统]]，能有效识别相干结构。

'''拉普拉斯核（Laplacian Kernel）'''是径向基函数核的一种变体，其对噪声和异常值具有更好的[[鲁棒性]]。其数学表达式为： <math>k(\mathbf{x}, \mathbf{y}) = \exp\left(-\frac{|\mathbf{x} - \mathbf{y}|_1}{\sigma}\right)</math> ，其中，<math>|\mathbf{x} - \mathbf{y}|_1</math>表示向量间的[[曼哈顿距离（L1范数）]]，<math>\sigma</math>为尺度参数控制衰减速率。与高斯核使用[[L2范数]]不同，拉普拉斯核使用[[L1范数]]，使其对异常值更不敏感，因为[[L1范数]]对大幅偏差的惩罚小于[[L2范数]]。该核函数的优点在于能有效处理包含噪声的高维数据，特别适用于传感器网络或实验测量数据中存在显著噪声的动力系统分析。缺点是计算效率相对较低，且需要仔细调整尺度参数<math>\sigma</math>以避免过平滑。

'''拉普拉斯核（Laplacian Kernel）'''是径向基函数核的一种变体，其对噪声和异常值具有更好的[[鲁棒性]]。其数学表达式为： <math>k(\mathbf{x}, \mathbf{y}) = \exp\left(-\frac{|\mathbf{x} - \mathbf{y}|_1}{\sigma}\right)</math> ，其中，<math>|\mathbf{x} - \mathbf{y}|_1</math>表示向量间的[[曼哈顿距离（L1范数）]]，<math>\sigma</math>为尺度参数控制衰减速率。与高斯核使用[[L2范数]]不同，拉普拉斯核使用[[L1范数]]，使其对异常值更不敏感，因为[[L1范数]]对大幅偏差的惩罚小于[[L2范数]]。该核函数的优点在于能有效处理包含噪声的高维数据，特别适用于传感器网络或实验测量数据中存在显著噪声的动力系统分析。缺点是计算效率相对较低，且需要仔细调整尺度参数<math>\sigma</math>以避免过平滑。