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Koopman算子理论 (查看源代码)

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第340行：第340行：

==残差DMD==

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在动力系统研究中，Koopman算子理论通过全局线性化为分析非线性系统提供框架，但传统方法如扩展动态模式分解（EDMD）面临谱污染、连续谱处理不足和高维挑战等局限。残差动态模式分解（ResDMD）通过引入残差计算机制，构建Koopman算子<math>\mathcal{K}</math>及其伴随算子与自身的乘积<math>\mathcal{K}^* \mathcal{K}</math>的[[Galerkin近似]]~~，有效区分真实特征值与伪特征值，解决了EDMD因有限维假设和离散化误差导致的谱失真问题。~~

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在[[动力系统]]研究中，Koopman算子理论通过全局线性化为分析[[非线性系统]]提供框架，但传统方法如扩展动态模式分解（EDMD）面临谱污染、连续谱处理不足和高维挑战等局限。残差动态模式分解（ResDMD）通过引入残差计算机制，构建Koopman算子<math>\mathcal{K}</math>及其伴随算子与自身的乘积<math>\mathcal{K}^* \mathcal{K}</math>的[[Galerkin近似]]，有效区分真实[[特征值]]与伪[[特征值]]，解决了EDMD因有限维假设和离散化误差导致的谱失真问题。

1. Colbrook, M. J., Ayton, L. J. & Szőke, M. Residual dynamic mode decomposition: Robust and verified koopmanism. J. Fluid Mech. 955, A21 (2023).

第363行：第363行：

其中<math>\|\mathbf{ · }\|_2</math>表示向量的标准欧几里得范数。

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实际计算中无法直接上式的积分，因此通过 “积分规则”（以<math>\displaystyle{ \{x_j\}_{j=1}^M }</math>为节点，<math>\boldsymbol{y}^{(j)} = F(\boldsymbol{x}^{(j)}) </math>，<math>\displaystyle{ \{w_j\}_{j=1}^M }</math>为权重，<math>M </math>~~为初始条件数量）近似积分，将上式转化为加权最小二乘问题：~~

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实际计算中无法直接上式的积分，因此通过 “积分规则”（以<math>\displaystyle{ \{x_j\}_{j=1}^M }</math>为节点，<math>\boldsymbol{y}^{(j)} = F(\boldsymbol{x}^{(j)}) </math>，<math>\displaystyle{ \{w_j\}_{j=1}^M }</math>为权重，<math>M </math>为初始条件数量）[[近似]]积分，将上式转化为加权最小二乘问题：

<math>\arg\min_{B\in\mathbb{C}^{N_K \times N_K}} \sum_{j=1}^{M} w_j \|\Psi(y^{(j)}) - \Psi(x^{(j)})B\|_{\ell_2}^2</math>

第371行：第371行：

<math>\displaystyle{ K_{\text{EDMD}} = (\Psi_X^* W \Psi_X)^\dagger (\Psi_X^* W \Psi_Y) }</math>

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其中 “<math>\displaystyle{ \dagger }</math>” ~~表示伪逆，~~<math>\displaystyle{ W = \text{diag}(w_1, \dots, w_M) }</math>（对角权重矩阵），<math>\displaystyle{ \Psi_X }</math>和<math>\displaystyle{ \Psi_Y }</math>为矩阵，即，

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其中 “<math>\displaystyle{ \dagger }</math>” 表示[[伪逆]]，<math>\displaystyle{ W = \text{diag}(w_1, \dots, w_M) }</math>（对角权重矩阵），<math>\displaystyle{ \Psi_X }</math>和<math>\displaystyle{ \Psi_Y }</math>为矩阵，即，

<math>\displaystyle{ \Psi_X = \begin{pmatrix} \Psi(\boldsymbol{x}^{(1)}) \\ \vdots \\ \Psi(\boldsymbol{x}^{(M)}) \end{pmatrix}, \quad \Psi_Y = \begin{pmatrix} \Psi(\boldsymbol{y}^{(1)}) \\ \vdots \\ \Psi(\boldsymbol{y}^{(M)}) \end{pmatrix} }</math>

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故对于<math>\displaystyle{ \mathcal{K} }</math>的候选特征对 <math>(\lambda, g) </math>（<math>\lambda \in \mathbb{C} </math>~~是候选特征值，~~<math>g = \Psi \boldsymbol{g} \in V_{N_K}</math>是基于字典的候选特征函数），残差定义为：

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故对于<math>\displaystyle{ \mathcal{K} }</math>的候选特征对 <math>(\lambda, g) </math>（<math>\lambda \in \mathbb{C} </math>是候选[[特征值]]，<math>g = \Psi \boldsymbol{g} \in V_{N_K}</math>是基于字典的候选特征函数），残差定义为：

<math>\text{res}(\lambda, g)^2 = \frac{\sum_{j,k=1}^{N_K} \overline{g_j} g_k \left[ (\Psi_Y^* W \Psi_Y)_{jk} - \lambda (\Psi_Y^* W \Psi_X)_{jk} - \overline{\lambda} (\Psi_X^* W \Psi_Y)_{jk} + |\lambda|^2 (\Psi_X^* W \Psi_X)_{jk} \right]}{\sum_{j,k=1}^{N_K} \overline{g_j} g_k (\Psi_X^* W \Psi_X)_{jk}}</math>

===算法===

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一、ResDMD计算无谱污染的特征对算法<ref name=Colbrook_2024>Colbrook, M. J. & Townsend, A. Rigorous data‐driven computation of spectral properties of koopman operators for dynamical systems. Commun. Pure Appl. Math. 77, 221–283 (2024).</ref>~~：从切片数据中提取Koopman算子的准确特征对（特征值~~+特征函数），核心解决传统EDMD的谱污染问题。

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一、ResDMD计算无谱污染的特征对算法<ref name=Colbrook_2024>Colbrook, M. J. & Townsend, A. Rigorous data‐driven computation of spectral properties of koopman operators for dynamical systems. Commun. Pure Appl. Math. 77, 221–283 (2024).</ref>：从切片数据中提取Koopman算子的准确特征对（[[特征值]]+特征函数），核心解决传统EDMD的谱污染问题。

输入：<math>\{x^{(j)}\}_{j=1}^M</math>（初始状态）、<math>\{y^{(j)}=F(x^{(j)})\}_{j=1}^M</math>（下一时刻状态）、<math>\{w_j\}_{j=1}^M</math>（数值积分权重）、<math>\{\psi_j\}_{j=1}^{N_K}</math>（观测函数）、<math>\epsilon>0</math>（残差阈值）

第389行：第389行：

# 计算三个核心矩阵：<math>\Psi_X^* W \Psi_X</math>、<math>\Psi_X^* W \Psi_Y</math>、<math>\Psi_Y^* W \Psi_Y</math>（<math>\Psi_X/\Psi_Y</math>为字典在<math>x/y</math>上的取值矩阵，<math>W</math>为权重对角矩阵）。

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# ~~求解广义特征值问题：~~<math>(\Psi_X^* W \Psi_Y)g = \lambda(\Psi_X^* W \Psi_X)g</math>，得到候选特征对。

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# 求解广义[[特征值]]问题：<math>(\Psi_X^* W \Psi_Y)g = \lambda(\Psi_X^* W \Psi_X)g</math>，得到候选特征对。

# 计算每个候选特征对的残差<math>res(\lambda_j, g_j)</math>（衡量特征对与真实Koopman算子的契合度）。

# 丢弃残差大于<math>\epsilon</math>的伪特征对，保留满足精度的有效特征对。

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二、ResDMD计算ε-伪谱估计算法<ref name=Colbrook_2024>Colbrook, M. J. & Townsend, A. Rigorous data‐driven computation of spectral properties of koopman operators for dynamical systems. Commun. Pure Appl. Math. 77, 221–283 (2024).</ref>：扩展上个算法的功能，计算Koopman算子的<math>\epsilon</math>-~~伪谱，弥补特征值无法反映的非正规算子暂态行为和谱分布信息。~~

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二、ResDMD计算ε-伪谱估计算法<ref name=Colbrook_2024>Colbrook, M. J. & Townsend, A. Rigorous data‐driven computation of spectral properties of koopman operators for dynamical systems. Commun. Pure Appl. Math. 77, 221–283 (2024).</ref>：扩展上个算法的功能，计算Koopman算子的<math>\epsilon</math>-伪谱，弥补[[特征值]]无法反映的非正规算子暂态行为和谱分布信息。

输入：<math>\{x^{(j)}\}_{j=1}^M</math>（初始状态）、<math>\{y^{(j)}=F(x^{(j)})\}_{j=1}^M</math>（下一时刻状态）、<math>\{w_j\}_{j=1}^M</math>（数值积分权重）、<math>\{\psi_j\}_{j=1}^{N_K}</math>（观测函数）、<math>\epsilon>0</math>（残差阈值）、<math>\{z_1,...,z_k\} \subset \mathbb{C}</math>（待评估的谱区域网格点）

第403行：第403行：

# 计算三个核心矩阵：<math>\Psi_X^* W \Psi_X</math>、<math>\Psi_X^* W \Psi_Y</math>、<math>\Psi_Y^* W \Psi_Y</math>（<math>\Psi_X/\Psi_Y</math>为字典在<math>x/y</math>上的取值矩阵，<math>W</math>为权重对角矩阵）。

−

# 对每个网格点<math>z_j</math>，求解最小残差<math>\tau_j = \min_{g \in \mathbb{C}^{N_K}} res(z_j, \Psi g)</math>~~（转化为广义SVD问题）。~~

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# 对每个网格点<math>z_j</math>，求解最小残差<math>\tau_j = \min_{g \in \mathbb{C}^{N_K}} res(z_j, \Psi g)</math>（转化为广义[[SVD]]问题）。

# 筛选出最小残差<math>\tau_j < \epsilon</math>的网格点，构成<math>\epsilon</math>-伪谱。

===例子===

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~~高斯迭代映射是一类具有复杂非线性动力学行为的实值动力系统，因分岔图呈现类似~~ “鼠标” 的特征而成为验证非线性算法的经典案例。该映射的非线性源于指数项<math>\exp(-\alpha x^2)</math>，当参数<math>\alpha</math>和<math>\beta</math>取特定值时，系统会表现出从周期运动到复杂分岔的过渡，其 Koopman ~~算子的谱结构包含离散特征值与潜在的连续谱成分，对算法的谱分辨能力提出挑战。~~

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[[高斯迭代映射]]是一类具有复杂非线性动力学行为的实值[[动力系统]]，因分岔图呈现类似 “鼠标” 的特征而成为验证非线性算法的经典案例。该映射的非线性源于指数项<math>\exp(-\alpha x^2)</math>，当参数<math>\alpha</math>和<math>\beta</math>取特定值时，系统会表现出从周期运动到复杂分岔的过渡，其 Koopman 算子的谱结构包含离散[[特征值]]与潜在的连续谱成分，对算法的谱分辨能力提出挑战。

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实验<ref name=Colbrook_2024>Colbrook, M. J. & Townsend, A. Rigorous data‐driven computation of spectral properties of koopman operators for dynamical systems. Commun. Pure Appl. Math. 77, 221–283 (2024).</ref>~~采用的高斯迭代映射定义为：~~<math>F(x) = \exp(-\alpha x^2) + \beta</math>

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实验<ref name=Colbrook_2024>Colbrook, M. J. & Townsend, A. Rigorous data‐driven computation of spectral properties of koopman operators for dynamical systems. Commun. Pure Appl. Math. 77, 221–283 (2024).</ref>采用的[[高斯迭代映射]]定义为：<math>F(x) = \exp(-\alpha x^2) + \beta</math>

−

式中，<math>\alpha=2</math>；<math>\beta=-1-\exp(-\alpha)</math>。映射的状态空间限制为<math>\Omega=[-1,0]</math>~~，采用标准勒贝格测度（Lebesgue~~ measure）<math>\omega</math>描述状态分布。

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式中，<math>\alpha=2</math>；<math>\beta=-1-\exp(-\alpha)</math>。映射的状态空间限制为<math>\Omega=[-1,0]</math>，采用标准[[勒贝格测度]]（Lebesgue measure）<math>\omega</math>描述状态分布。

观测字典用<math>[-1,0]</math>区间的勒让德多项式，具体形式为：<math>\psi_j(x) = c_j P_j(2x+1)</math>

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其中：<math>P_j</math>为j次勒让德多项式；<math>c_j</math>~~为归一化系数，使字典在~~<math>L^2(\Omega, \omega)</math>空间内满足<math>\langle \psi_i, \psi_j \rangle = \delta_{ij}</math><math>(\delta_{ij}</math>~~为克罗内克函数），减少基函数间的冗余干扰。实验中固定字典规模~~<math>N_K=40</math>。

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其中：<math>P_j</math>为j次勒让德多项式；<math>c_j</math>为[[归一化]]系数，使字典在<math>L^2(\Omega, \omega)</math>空间内满足<math>\langle \psi_i, \psi_j \rangle = \delta_{ij}</math><math>(\delta_{ij}</math>为[[克罗内克函数]]），减少基函数间的冗余干扰。实验中固定字典规模<math>N_K=40</math>。

−

实验数据为<math>\{(x^{(j)}, y^{(j)})\}_{j=1}^M</math>，其中<math>(y^{(j)}=F(x^{(j)})</math>~~（F为高斯迭代映射）。~~

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实验数据为<math>\{(x^{(j)}, y^{(j)})\}_{j=1}^M</math>，其中<math>(y^{(j)}=F(x^{(j)})</math>（F为[[高斯迭代映射]]）。

−

左图验证 ResDMD ~~的谱污染剔除能力，以复平面（横轴~~<math>Re(\lambda)</math>、纵轴<math>Im(\lambda)</math>~~）为背景，黑色曲线是伪谱轮廓，分别对应~~<math>\epsilon=0.001,0.01,0.1,0.3</math>的<math>\epsilon</math>- ~~伪谱，定义为：~~<math>\sigma_\epsilon(K) = cl\left(\{\lambda \in \mathbb{C} \mid \|(K - \lambda)^{-1}\| > 1/\epsilon\}\right)</math>。

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左图验证 ResDMD 的谱污染剔除能力，以[[复平面]]（横轴<math>Re(\lambda)</math>、纵轴<math>Im(\lambda)</math>）为背景，黑色曲线是[[伪谱]]轮廓，分别对应<math>\epsilon=0.001,0.01,0.1,0.3</math>的<math>\epsilon</math>- [[伪谱]]，定义为：<math>\sigma_\epsilon(K) = cl\left(\{\lambda \in \mathbb{C} \mid \|(K - \lambda)^{-1}\| > 1/\epsilon\}\right)</math>。

其中<math>cl(\cdot)</math>表示集合的闭包，K为 Koopman 算子。

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品红色圆点为传统 EDMD ~~特征值，大量特征值位于伪谱之外，这些是离散化导致的谱污染（虚假特征值），无法反映系统真实动力学，例如虚部~~ > 0.5 ~~的特征值对应不存在的高频振荡，与高斯迭代映射的实际动力学矛盾。蓝色叉号为ResDMD 筛选特征值，所有特征值均位于~~<math>\epsilon=0.01</math>的伪谱内。

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品红色圆点为传统 EDMD [[特征值]]，大量[[特征值]]位于伪谱之外，这些是离散化导致的[[谱污染]]（虚假[[特征值]]），无法反映系统真实动力学，例如虚部 > 0.5 的[[特征值]]对应不存在的高频振荡，与[[高斯迭代映射]]的实际动力学矛盾。蓝色叉号为ResDMD 筛选[[特征值]]，所有[[特征值]]均位于<math>\epsilon=0.01</math>的伪谱内。

右图体现不同积分规则的性能差异，以 “数据点数量M” 为横轴、“核心矩阵元素最大绝对误差” 为纵轴（对数坐标），误差定义为：

第429行：第429行：

<math>err = \max_{1 \leq j,k \leq N_K} \left| (\Psi_X^* W \Psi_Y)_{jk} - \langle K\psi_k, \psi_j \rangle \right|</math>，

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其中<math>\langle K\psi_k, \psi_j \rangle</math>为 Koopman 算子 inner product 的真实值（作为误差基准）。结果显示不同积分规则的收敛速率差异显著：高斯 - 勒让德规则指数收敛；梯形规则<math>O(M^{-2})</math>；黎曼和规则<math>O(M^{-1})</math>~~；蒙特卡洛规则~~<math>O(M^{-1/2})</math>。

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其中<math>\langle K\psi_k, \psi_j \rangle</math>为 Koopman 算子 inner product 的真实值（作为误差基准）。结果显示不同积分规则的收敛速率差异显著：高斯 - 勒让德规则指数收敛；梯形规则<math>O(M^{-2})</math>；黎曼和规则<math>O(M^{-1})</math>；[[蒙特卡洛]]规则<math>O(M^{-1/2})</math>。

[[文件:ResDMDGussian.png|无|缩略图|高斯迭代映射伪谱图与随着数据点𝑀数量增加，不同求积法则下Galerkin矩阵Ψ*<small>𝑋</small>𝑊Ψ<small>𝑌</small>的收敛情况。]]

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