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→核DMD
核动态模式分解（Kernel Dynamic Mode Decomposition）是一种通过[[核技巧（kernel trick）]]在[[再生核希尔伯特空间（Reproducing Kernel Hilbert Space，RKHS）]]中近似[[非线性动力系统]]的Koopman算子的方法。Koopman算子本身是一个线性算子，但作用于无限维的函数空间，这使得直接计算变得困难。核DMD通过引入[[核函数]]来隐式地处理高维特征映射，从而避免显式构造高维向量，同时捕捉系统的非线性特性。
核动态模式分解（Kernel Dynamic Mode Decomposition）是一种通过[[核技巧（kernel trick）]]在[[再生核希尔伯特空间（Reproducing Kernel Hilbert Space，RKHS）]]中近似[[非线性动力系统]]的Koopman算子的方法。Koopman算子本身是一个线性算子，但作用于无限维的函数空间，这使得直接计算变得困难。核DMD通过引入[[核函数]]来隐式地处理高维特征映射，从而避免显式构造高维向量，同时捕捉系统的非线性特性。
===理论===
具体来说，[[核函数]]<math>k(\mathbf{x}, \mathbf{y})</math>用于度量数据点<math>\mathbf{x}</math>和<math>\mathbf{y}</math>之间的相似性，它对应于一个特征映射<math>\phi(\mathbf{x})</math>，使得<ref name=william_2015_kernal>M. O. Williams, C. W. Rowley, and I. G. Kevrekidis, A kernel approach to data-driven Koopman spectral analysis, J. Comput. Dynam., 2 (2015), pp. 247--265. (Cited on pp. 255, 256, 284, 285, 294, 318)</ref><ref name=Gonzalez_2023_kernal>Gonzalez, E., Abudia, M., Jury, M., Kamalapurkar, R. & Rosenfeld, J. A. The kernel perspective on dynamic mode decomposition. Preprint at https://doi.org/10.48550/arXiv.2106.00106 (2023).</ref>
具体来说，[[核函数]]<math>k(\mathbf{x}, \mathbf{y})</math>用于度量数据点<math>\mathbf{x}</math>和<math>\mathbf{y}</math>之间的相似性，它对应于一个特征映射<math>\phi(\mathbf{x})</math>，使得<ref name=william_2015_kernal>M. O. Williams, C. W. Rowley, and I. G. Kevrekidis, A kernel approach to data-driven Koopman spectral analysis, J. Comput. Dynam., 2 (2015), pp. 247--265. (Cited on pp. 255, 256, 284, 285, 294, 318)</ref><ref name=Gonzalez_2023_kernal>Gonzalez, E., Abudia, M., Jury, M., Kamalapurkar, R. & Rosenfeld, J. A. The kernel perspective on dynamic mode decomposition. Preprint at https://doi.org/10.48550/arXiv.2106.00106 (2023).</ref>
在核DMD中，我们首先构建一个核矩阵<math>\mathbf{K}</math>，其元素为<math>K_{ij} = k(\mathbf{x}_i, \mathbf{x}_j)</math>，然后通过对核矩阵进行[[特征分解]]来提取主导模式。这相当于在RKHS中执行标准DMD算法，从而获得近似Koopman算子的[[特征值]]和[[特征模式]]。核DMD的优势在于，它能够处理复杂的[[非线性系统]]，如[[流体湍流]]或[[混沌系统]]，而无需手动设计非线性特征函数。此外，核技巧减少了[[计算复杂度]]，因为我们可以通过核矩阵运算避免高维空间中的直接计算。目前，有很多种核函数，包括线性核、多项式核、[[径向基]]核、高斯核、拉普拉斯核、sigmod核等等。
在核DMD中，我们首先构建一个核矩阵<math>\mathbf{K}</math>，其元素为<math>K_{ij} = k(\mathbf{x}_i, \mathbf{x}_j)</math>，然后通过对核矩阵进行[[特征分解]]来提取主导模式。这相当于在RKHS中执行标准DMD算法，从而获得近似Koopman算子的[[特征值]]和[[特征模式]]。核DMD的优势在于，它能够处理复杂的[[非线性系统]]，如[[流体湍流]]或[[混沌系统]]，而无需手动设计非线性特征函数。此外，核技巧减少了[[计算复杂度]]，因为我们可以通过核矩阵运算避免高维空间中的直接计算。目前，有很多种核函数，包括线性核、多项式核、[[径向基]]核、高斯核、拉普拉斯核、sigmod核等等。
===核函数===
'''线性核（Linear Kernel）'''：可视为核DMD的退化形式。其公式为： <math>k(\mathbf{x}, \mathbf{y}) = \mathbf{x} \cdot \mathbf{y}</math> ，其中，<math>\mathbf{x} \cdot \mathbf{y}</math> 是标准内积，直接反映线性相关性。 线性核计算高效且无超参数，适合线性或近似线性的系统；但无法处理强非线性。在核DMD中，它适用于小扰动下的线性化系统，可作为复杂核的基准比较。
'''线性核（Linear Kernel）'''：可视为核DMD的退化形式。其公式为： <math>k(\mathbf{x}, \mathbf{y}) = \mathbf{x} \cdot \mathbf{y}</math> ，其中，<math>\mathbf{x} \cdot \mathbf{y}</math> 是标准内积，直接反映线性相关性。 线性核计算高效且无超参数，适合线性或近似线性的系统；但无法处理强非线性。在核DMD中，它适用于小扰动下的线性化系统，可作为复杂核的基准比较。