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其中k为比例常数，它是一个微分方程，因为它包含未知函数N及其导数[math]\displaystyle{ \frac{dN}{dt} }[/math]。

其中k为比例常数，它是一个微分方程，因为它包含未知函数N及其导数[math]\displaystyle{ \frac{dN}{dt} }[/math]。

排除规模为0的种群，那么对所有t都有N(t) > 0。因此，如果k > 0，那么由方程(1)可得，对所有t都有N(t) > 0$  ，这表示种群是不断增长的。事实上，方程(1)表明，随着N(t)不断增大，[math]\displaystyle{ \frac{dN}{dt} }[/math]也不断增大，即随着种群增长，增长率也不断增大。

排除规模为0的种群，那么对所有t都有N(t) > 0。因此，如果k > 0，那么由方程(1)可得，对所有t都有N(t) > 0$  ，这表示种群是不断增长的。事实上，方程(1)表明，随着N(t)不断增大，[math]\displaystyle{ \frac{dN}{dt} }[/math]也不断增大，即随着种群增长，增长率也不断增大。

求解方程（1），要根据该方程求出一个函数，其导数是它本身的常数倍，指数函数具有这个性质。实际上，如果令  $N(t) = C\mathrm{e}^{kt}$ ，则有

求解方程（1），要根据该方程求出一个函数，其导数是它本身的常数倍，指数函数具有这个性质。如果令 [math]\displaystyle{ \N(t) = C\mathrm{e}^{kt}}[/math]，则有

 

$$

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P ^ {\prime} (t) = C \left(k e ^ {k t}\right) = k \left(C e ^ {k t}\right) = k P (t),

N ^ {\prime} (t) = C \left(k e ^ {k t}\right) = k \left(C e ^ {k t}\right) = k N (t),

$$

$$

即任何形如  $N(t) = C\mathrm{e}^{kt}$  的指数函数都是方程的解．

即任何形如  $N(t) = C\mathrm{e}^{kt}$  的指数函数都是方程的解．