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==问题背景==

==问题背景==

种群增长的一个模型是基于如下假设建立的：种群规模的增长率与种群规模成正比。这个假设对于理想条件下（无限的环境、充足的营养、没有天敌、对疾病免疫）的细菌种群或动物种群是合理的。

种群增长的一个模型是基于如下假设建立的：种群规模的增长率与种群规模成正比。这个假设对于理想条件下（无限的环境、充足的营养、没有天敌、对疾病免疫）的细菌种群或动物种群是合理的。

种群规模（N）的增长率为导数[math]\displaystyle{ \frac{dN}{dt} }[/math]，所以种群规模的增长率与种群规模成正比的假设可以表示成：

种群规模N的增长率为导数[math]\displaystyle{ \frac{dN}{dt} }[/math]，所以种群规模的增长率与种群规模成正比的假设可以表示成：

{{NumBlk|:|

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|{{EquationRef|1}}}}

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其中k为比例常数，它是一个微分方程，因为它包含未知函数N及其导数[math]\displaystyle{ \frac{dN}{dt} }[/math]。

其中k为比例常数，它是一个微分方程，因为它包含未知函数N及其导数[math]\displaystyle{ \frac{dN}{dt} }[/math]。

排除规模为0的种群，那么对所有t都有N(t) > 0。因此，如果k > 0，那么由方程(1)可得，对所有t都有N(t) > 0$  ，这表示种群是不断增长的。事实上，方程(1)表明，随着N(t)不断增大，[math]\displaystyle{ \frac{dN}{dt} }[/math]也不断增大，即随着种群增长，增长率也不断增大。

排除规模为0的种群，那么对所有t都有N(t) > 0。因此，如果k > 0，那么由方程(1)可得，对所有t都有N(t) > 0，这表示种群是不断增长的。事实上，方程(1)表明，随着N(t)不断增大，[math]\displaystyle{ \frac{dN}{dt} }[/math]也不断增大，即随着种群增长，增长率也不断增大。

求解方程（1），要根据该方程求出一个函数，其导数是它本身的常数倍，指数函数具有这个性质。如果令 [math]\displaystyle{ \N(t) = C\mathrm{e}^{kt}}[/math]，则有

求解方程（1），要根据该方程求出一个函数，其导数是它本身的常数倍，指数函数具有这个性质。如果令 [math]\displaystyle{ \N(t) = C\mathrm{e}^{kt}}[/math]，则有