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===尺度闭合 与 成块性===

===尺度闭合 与 成块性===

在论文<ref name=":Geiger">B. C. Geiger and C. Temmel, “Lumpings of Markov chains, entropy rate preservation, and higher-order lumpability,” J. Appl. Probab., vol. 51, no. 4, pp. 1114–1132, Dec. 2014, extended version: arXiv:1212.4375.</ref>中，作者给出了以下定理：

Geiger 和 Temmel 的工作<ref name=":Geiger">B. C. Geiger and C. Temmel, “Lumpings of Markov chains, entropy rate preservation, and higher-order lumpability,” J. Appl. Probab., vol. 51, no. 4, pp. 1114–1132, Dec. 2014, extended version: arXiv:1212.4375.</ref>把马尔可夫链的成块性与信息条件联系了起来。

# 一个不可约irreducible，和非周期性aperiodic 的马尔科夫链 <math>X</math> ，<math>Z_t=f(X_t)</math> 是对 <math>X</math> 的状态空间上定义的粗粒化函数，那 <math>X</math> 的强成块性 '''在其达到稳态stationary分布时''' 等价于 <math>H(Z_{t+1}|Z_t) = H(Z_{t+1}|X_t) </math>。

对一个不可约（irreducible），和非周期性（aperiodic）的马尔科夫链 <math>X</math> ，若<math>Z_t=f(X_t)</math> 是状态空间上定义的粗粒化函数，有：

 

# <math>X</math> 的强成块性 '''在其达到稳态（stationary）分布时''' 等价于 <math>H(Z_{t+1}|Z_t) = H(Z_{t+1}|X_t) </math>。

# <math>X</math> 的弱成块性 '''在其达到稳态分布时''' 等价于 <math>H(Z_{t+1}|Z_t) = H(Z_{t+1}|Z_{<t}) </math>。

# <math>X</math> 的弱成块性 '''在其达到稳态分布时''' 等价于 <math>H(Z_{t+1}|Z_t) = H(Z_{t+1}|Z_{<t}) </math>。

作者们<ref name="closure" />认为，当使用 <math>Z_t</math> 来预测 <math>Z_{t+1}</math> 时，可以拆分为两步：先利用宏观 <math>Z_t</math> 推断微观 <math>X_t</math>，再利用微观 <math>X_t</math> 估算宏观 <math>Z_{t+1}</math>。所以，

Rosas等人<ref name="closure" />认为，当使用 <math>Z_t</math> 来预测 <math>Z_{t+1}</math> 时，可以拆分为两步：先利用宏观 <math>Z_t</math> 推断微观 <math>X_t</math>，再利用微观 <math>X_t</math> 估算宏观 <math>Z_{t+1}</math>。所以，

 

'''推断2'''：假设存在 <math>Z=f(E)=f(\epsilon(X))</math>，<math>E</math> 为 <math>X_t</math> 的ϵ-机器的因果态，那么 <math>E</math> 是弱成块的条件 等价于 <math>Z_t</math> 计算闭合的条件。证明请参考词条[[不同尺度之间的闭合性]]。

'''推断1'''：当一个马尔科夫链 <math>X_t</math> 存在粗粒化函数 <math>Z_t=f(X_t)</math>，而 <math>X_t</math> 对 <math>f</math> 强成块时，则 <math>Z_t</math> 满足因果闭合/计算闭合。（反之未必成立，详情请参考论文<ref name="closure" />反例6）。证明请参考词条[[不同尺度之间的闭合性]]。

下图为原文中提供的图例<ref name="closure" />，总结了上述概念之间的关系：

原文<ref name="closure" />用一张关系图总结了这些概念：

[[文件:闭合性的概念.png|500px]]

[[文件:闭合性的概念.png|500px]]

# 粗粒化函数 <math>f</math> 的因果闭合性 等价于 其信息闭合性。

# 对给定 <math>f</math>，因果闭合性 等价于 信息闭合性。

# 当 <math>f</math> 因果/信息闭合时，它一定是计算闭合的。

# 当 <math>f</math> 因果/信息闭合时，它一定计算闭合。

# 当一个'''稳态的'''马尔科夫链 <math>X_t</math> 对 <math>Z_t = f(X_t)</math> 强成块时，它一定是因果/信息闭合的。

# 当一个'''稳态的'''马尔科夫链 <math>X_t</math> 对 <math>Z_t = f(X_t)</math> 强成块时，则 <math>f</math> 一定因果/信息闭合。

# 当'''稳态的''' <math>X_t</math>的因果态 <math>E_t</math> 对 <math>Z_t = f(E_t)</math> 弱成块时，<math>Z_t</math> 是计算闭合的。

# 当'''稳态的''' <math>X_t</math>的因果态 <math>E_t</math> 对 <math>Z_t = f(E_t)</math> 弱成块时，<math>Z_t</math> 计算闭合。

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