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马尔科夫链的粗粒化 (查看源代码)

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[[文件:计算闭合可交换性.png|缩略图|计算闭合可交换性示意图，摘录自文章原文]]

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定义 <math>Z</math> 的 ϵ-机器为计算闭合，当满足：'''存在粗粒化函数 <math>f^*</math>使得<math>E'_t = f^*(E_t)</math>，其中<math>E_t</math> 和 <math>E'_t</math> 分别为 <math>X</math> 和 <math>Z</math> 的ϵ-机器的因果态。'''

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定义：<math>Z</math> 的 ϵ-机器为计算闭合，当满足：'''存在粗粒化函数 <math>f^*</math>使得 <math>E'_t = f^*(E_t)</math>，其中<math>E_t</math> 和 <math>E'_t</math> 分别为 <math>X</math> 和 <math>Z</math> 的ϵ-机器的因果态。'''也就是说，宏观因果态是微观因果态的“合并版本”（一对一或多对一）。

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也就是说， <math>E_t</math> 和 <math>E'_t</math> 之间存在一个粗粒化的（一对一或多对一）映射关系。同样的，<math>X</math> 和 <math>Z</math> 之间也存在粗粒化的映射关系，所以我们可以看到这四个变量之间的关系可以归结于如下两条从 <math>X</math> 到 <math>E'</math> ~~的路径：~~

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从 <math>X</math> 到 <math>E'</math> 有两条路径：

# <math>X \stackrel{\epsilon}{\rightarrow} E \stackrel{f^*}{\rightarrow} E'</math>

# <math>X \stackrel{f}{\rightarrow} Z \stackrel{\epsilon'}{\rightarrow} E'</math>

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~~我们把~~ <math>f</math> 和 <math>f^*</math> 视作粗粒化算子，<math>\epsilon</math> 和 <math>\epsilon'</math> ~~视作因果态算子，那么我们看到两条路径中的粗粒化算子和因果态算子是可交换的。~~

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把 <math>f</math> 和 <math>f^*</math> 视作粗粒化算子，<math>\epsilon</math> 和 <math>\epsilon'</math> 视作因果态算子，那么我们看到，先粗粒化再找因果态 = 先找因果态再粗粒化，在机制层面是“可交换”的。

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上面提到过 ϵ-机器可以看作最小解释模型，描述了动力学的机制。所以，因果态空间 <math>E</math> 和 <math>E'</math> ~~可以看作是动力学的‘机制空间’。而计算闭合的一个意义就是指出，这种动力学不仅在本来的变量~~/状态空间中能够被粗粒化 <math>f</math> ~~，而且动力学的机制也能够被粗粒化~~ <math>f^*</math>~~。所以，当计算闭合时，宏观 <math>Z</math> 空间的机制能通过粗粒化微观 <math>X</math> 空间的机制而获得。~~

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上面提到过 ϵ-机器可以看作最小解释模型，描述了动力学的机制。所以，因果态空间 <math>E</math> 和 <math>E'</math> 可以看作是动力学的‘机制空间’。而计算闭合的意义是指出，这种动力学不仅在本来的变量/状态空间中能够被粗粒化 <math>f:X \to Z</math> ，而且它的机制也能被对应的粗粒化 <math>f^*: E \to E'</math>。因此，宏观的计算机制可以看作是微观机制的简化版。

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对于一台机器，我们肯定希望它的宏观的计算过程要更加的简洁，也就是说宏观的ϵ-机器最好是微观的ϵ-机器的一种粗粒化。难道宏观机器还可以不是微观机器的粗粒化吗？粗粒化意味着宏观变量是微观变量的单射，这个映射过程可能引入更多的噪音，导致宏观过程的因果态反而比微观的还要多。我们看下面这样一个例子：

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换句话说，如果一个系统在某个粗粒化 <math>f</math> 下是计算闭合的，那么我们可以从微观机器出发，在机制层面自然得到了宏观机器，从而实现一个干净的多尺度计算模型。

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考虑一个马尔可夫链 <math>X</math>，有三个状态 <math>a</math>、<math>b</math> 和 <math>c</math>，<math>p(a,i)=p(b,i) > 0, \forall i</math>，<math>p(c,b)=0</math>，且 <math>p(b,a) \neq p(c,a)</math>。这样，微观ϵ-~~机器只有两个因果态，<math>\{a,b\}</math> 和 <math>c</math>。~~

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对于一台机器，我们肯定希望它的宏观的计算过程要更加的简洁，也就是说宏观的ϵ-机器最好是微观的ϵ-机器的一种粗粒化。难道宏观机器还可以不是微观机器的粗粒化吗？粗粒化意味着宏观变量是微观变量的单射，这个映射过程可能引入更多的噪音，导致宏观过程的因果态反而比微观的还要多。我们在[[不同尺度之间的闭合性]]中介绍了一个具体例子，请感兴趣的读者自行查阅。

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假设我们的粗粒化分组方案为<math>\{a, \{b,c\}\}</math>，即<math>Z_t = A\ \text{if}\ X_t = a; Z_t = B\ \text{if}\ X_t = b\ or\ c</math>。可以证明当 <math>Z</math> 连续处于 <math>B</math> 状态的时间越长，<math>X_t = c</math> 的概率就越高（因为的转移被禁止），所以 <math>Z</math> 不是马尔可夫的。由于 <math>p(b,a) \neq p(c,a)</math>，因此 <math>Z</math> 的ϵ-机器需要区分以不同长度的 <math>B</math> 结尾的历史，例如 <math>\{A, (BA), (BBA), (BBBA)\}</math> 。所以， <math>E'</math> 的因果态数量多于 <math>E</math> 的因果态数量，因此 <math>E'</math> 不可能是 <math>E</math> 的粗粒化。

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我们本以为，把底层系统用机器描述后，宏观层的ϵ-机可能只需把底层机器的状态合并即可。但事实并非如此。在这个例子中，原始系统有3个状态，但因为 <math>a</math> 和 <math>b</math> 看起来完全一样，所以微观机器只需要区分 <math>\{a,b\}</math> 和 <math>c</math> 两种状态。但宏观的粗粒化选择却是，把 <math>b</math> 和 <math>c</math> 映射到一个宏观状态上。因为底层动力学的特殊性，想预测下一个何时出现，宏观ϵ-机需要记住最近连续出现了几个。也就是说，'''宏观行为实际上增加了记忆长度'''，需要无穷多个不同的因果态，而不仅仅是简单的两种状态。所以，这并不是一个好的、满足计算闭合要求的粗粒化方案。

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计算闭合与前面的因果闭合/信息闭合之间的关系是：对同一个粗粒化函数 <math>Z_t = f(X_t)</math> ：若它是因果闭合 / 信息闭合的，那么它一定也是计算闭合的；反之不一定，也就是说，计算闭合是一个相对更“宽松”的条件。证明请参照[[不同尺度之间的闭合性]]。

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如果满足计算闭合的要求，我们就可以从计算模型的角度对一个系统进行多尺度建模。在考虑多尺度建模的时候，我们只需要关注各个尺度机器上的粗粒化过程即可。

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计算闭合与前面的因果闭合/~~信息闭合之间的关系是：如果一个粗粒化函数~~ <math>Z_t = f(X_t)</math> ~~是因果闭合~~/~~信息闭合的，那它一定是计算闭合的。证明请参照~~[[不同尺度之间的闭合性]]。

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Liangjh

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