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第381行：
第381行： − 上面所述的因果闭合的建模基于动力学的因果态，强调因果的概念。我们也可以关注计算力学的另一方面，即计算与预测。+ − 因果态对 <math>\overrightarrow{Z_t}</math> 预测能力可以写成信息论的形式，即变量对 <math>\overrightarrow{Z_t}</math> 提供的互信息。<math>Z_t</math> 本身的ϵ-机器和 <math>Z_t = f(X_t)</math> 之间的υ-机器的等价关系可以写成：+ 第391行：
第391行： + − 这说明了，宏观的 <math>\overleftarrow{Z_t}</math> 和微观的 <math>\overleftarrow{X_t}</math> 给 <math>\overrightarrow{Z_t}</math> 提供的信息量是一样的。所以，信息闭合是指，对于一个粗粒化后的宏观过程，已知其自身过去的信息 <math>\overleftarrow{Z_t}</math> 就足以进行最优预测，进一步引入底层（微观）<math>\overleftarrow{X_t}</math> 信息也不能提升预测能力。也就是说，微观的信息 <math>\overleftarrow{X_t}</math> 对宏观未来 <math>\overrightarrow{Z_t}</math> 的预测是冗余的。所谓一个尺度在某某方面闭合，便是在说这个尺度上系统可以“自给自足”，不需要再考虑其他尺度。 + − 虽然定义方式不一样，但是我们不难看出，根据跨尺度因果态介绍中的推断2，因果闭合和信息闭合这两个对 <math>Z_t = f(X_t)</math> 的条件是等价的：由于<math>I(U_t ; \overrightarrow{Z_t}) = I(E'_t ; \overrightarrow{Z_t})</math>，所以<math>I(U_t ; \overrightarrow{Z_t}) = I( \overleftarrow{X_t}; \overrightarrow{Z_t}) = I( \overleftarrow{Z_t} ; \overrightarrow{Z_t}) = I(E'_t ; \overrightarrow{Z_t})</math>。+ +
→信息闭合 Information Closure
===信息闭合 Information Closure===
===信息闭合 Information Closure===
上面的因果闭合强调“干预–因果”，而信息闭合则从“预测–信息”出发。
用互信息来刻画<math>Z_t</math> 本身的ϵ-机器和 <math>Z_t = f(X_t)</math> 之间的υ-机器对宏观未来 <math>\overrightarrow{Z_t}</math>的预测能力，可以写成：
{{NumBlk|:|
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|{{EquationRef|6}}}}
|{{EquationRef|6}}}}
这就是信息闭合的条件：宏观历史 <math>\overleftarrow{Z_t}</math> 和微观历史 <math>\overleftarrow{X_t}</math> 对宏观未来 <math>\overrightarrow{Z_t}</math> 提供的信息量完全相同。
因此，只知道 <math>\overleftarrow{Z_t}</math> 就足以做最优预测，再加上底层的 <math>\overleftarrow{X_t}</math> 也不能提升预测能力。也就是说，微观信息在预测宏观 <math>\overrightarrow{Z_t}</math> 时是冗余的。所以，一个尺度在信息意义上“闭合”，便是在说这个尺度上系统可以“自给自足”，不需要再考虑其他尺度。
根据跨尺度因果态介绍中的推断2，可以证明：对给定的 <math>Z_t = f(X_t)</math>，'''因果闭合和信息闭合这两个条件是等价的'''：由于<math>I(U_t ; \overrightarrow{Z_t}) = I(E'_t ; \overrightarrow{Z_t})</math>，所以<math>I(U_t ; \overrightarrow{Z_t}) = I( \overleftarrow{X_t}; \overrightarrow{Z_t}) = I( \overleftarrow{Z_t} ; \overrightarrow{Z_t}) = I(E'_t ; \overrightarrow{Z_t})</math>。
另外，当信息闭合时也满足：
另外，当信息闭合时也满足：