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第320行： − 图xx展示了个体企业时间轨迹在平均尺度上和模型预测的吻合情况，结果显示，在美国、中国和欧洲的上市企业数据集中，模型表现和数据吻合。+ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +
→企业生长模型
[[文件:RC_Series_Filter_(with_V&I_Labels).png|300x500像素|thumb|right|串联RC电路，引自<ref name='wikipedia rc circuit'>https://en.wikipedia.org/wiki/RC_circuit</ref>]]
[[文件:RC_Series_Filter_(with_V&I_Labels).png|300x500像素|thumb|right|串联RC电路，引自<ref name='wikipedia rc circuit'>https://en.wikipedia.org/wiki/RC_circuit</ref>]]
* <math>c_I</math>和<math>\beta_I</math>代表企业的资产和企业净利润<math>I</math>之间幂律关系的参数（<math>I = c_I A^{\beta_I}</math>）
* <math>c_I</math>和<math>\beta_I</math>代表企业的资产和企业净利润<math>I</math>之间幂律关系的参数（<math>I = c_I A^{\beta_I}</math>）
* <math>c_L</math>和<math>\beta_L</math>代表资产和企业总债务<math>L</math>之间的幂律关系参数（<math>L = c_L A^{\beta_L}</math>）
* <math>c_L</math>和<math>\beta_L</math>代表资产和企业总债务<math>L</math>之间的幂律关系参数（<math>L = c_L A^{\beta_L}</math>）
上式被称为企业普适生长方程（General growth equation)
==== 解的形式 ====
==== 解的形式 ====
</math>
</math>
上式被称为企业通用生产曲线（general growth curve），其中，<math>t</math>是企业的市场年龄。图xx展示了个体企业时间轨迹在平均尺度上和模型预测的吻合情况，结果显示，在美国、中国和欧洲的上市企业数据集中，模型表现和数据吻合。
当<math>beta_L \approx 1</math>的时候，可以得到一个极佳的近似，此时企业生长方程的解是一个随时间变化的幂律形式：
<math>
A(t) \approx c ^t{\gamma}
</math>
其中
* <math>\gamma \approx [1-\left(\frac{1-\beta_L}{1-\beta_I}\right)\left(\frac{c_L}{1-c_L}\right)]/(1-\beta_I)</math>
* <math> c = \exp \left\{ \frac{1}{1-\beta_I} \left[ \ln \frac{(1-\beta_I)c_I}{(1-c_L)}\right] \left[ 1- \left(\frac{1-\beta_L}{1-\beta_I}\right)\left(\frac{c_L}{1-c_L}\right) \right] + \frac{\beta_{I}(1-\beta_L)}{(1-\beta_I)^2}\left(\frac{c_L}{1-c_L}\right) \right\}</math>
==== 动力学性质 ====
==== 动力学性质 ====
<math></math>
=====不动点分析=====
分析方程xx的动力学性质，我们可知，方程只有一个不动点<math>A = 0</math>，该点意味着企业的资产为0，考虑到企业资产往往不会出现为0的情况，该点并无实际的经济意义。
=====奇异点分析=====
进一步分析可知，方程存在奇异点，即分母为0的情况，此时<math>dA/dt -> \infty</math>。下面我们对奇异点<math>A^*</math>展开分析。
令分母<math>D(x) = 1-c_L\beta_LA^{\beta_L-1} = 0</math>，得到奇异点<math>A^*=\left(c_L\beta_L\right)^{1/(1-\beta_L)}</math>
======稳定性======
对奇异点进行稳定性分析，即判断 <math>\left.\frac{d^2t}{dA^2}\right|_{A=A^*}=\frac{(A^*)^{-\beta_I-1}}{c_I}(1-\beta_L)</math>的正负。我们得到两种情况：
* 当<math>beta_L > 1</math>时，<math> \frac{d^2t}{dA^2}< 0</math>，意味着此时奇异点是一个吸引子，企业生长靠近该点。
* 当<math>beta_L < 1</math>时，<math> \frac{d^2t}{dA^2}< 0</math>，意味着此时奇异点是一个排斥子，企业规模远离该点。
右图展示了不同<math>\beta_L</math>取值情况的企业生长轨迹及其变化率的可视化图像
[[文件:Singularity.png|400px|thumb|right|企业生长轨迹及其变化率和不同参数的关系]]
======经济含义======
对应到企业生长行为，也可以分成对应两种类型的生长阈值
* 当<math>\beta_L > 1</math>时，由于此时奇点是一个吸引子，意味着小于规模奇点<math>A^*</math>的企业可以持续增长，而大于规模奇点<math>A^*</math>的企业则表现为衰退，此时奇点<math>A^*</math>是一个生长上限。
* 而当<math>beta_L <1</math>时，由于此时奇点是一个排斥子，意味着大于规模奇点<math>A^*</math>的企业可以持续增长，而小于规模奇点<math>A^*</math>的企业则表现为衰退，此时奇点<math>A^*</math>是一个生长门槛。
= 参考文献 =
= 参考文献 =
<references />
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