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逻辑斯谛方程的历史发展跨越了两个世纪，融合了人口学、生物学和数学的交叉研究：
逻辑斯谛方程的历史发展跨越了两个世纪，融合了人口学、生物学和数学的交叉研究：
</math>
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|{{EquationRef|1}}}}
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其中k为比例常数。方程（1）包含未知函数N及其导数<math>\displaystyle{ \frac{dN}{dt} }</math>，是一个微分方程。
排除规模为0的种群，那么对所有t都有<math>N_{(t)} > 0</math>。因此，如果k > 0，那么由方程(1)可得，对所有t都有<math>N_{(t)} > 0</math>，这表示种群是不断增长的。事实上，方程(1)表明，随着<math>N_{(t)}</math>不断增大，<math>\displaystyle{ \frac{dN}{dt} }</math>也不断增大，即随着种群增长，增长率也不断增大。
排除规模为0的种群，那么对所有t都有<math>N_{(t)} > 0</math>。因此，如果k > 0，那么由方程(1)可得，对所有t都有<math>N_{(t)} > 0</math>，这表示种群是不断增长的。事实上，方程(1)表明，随着<math>N_{(t)}</math>不断增大，<math>\displaystyle{ \frac{dN}{dt} }</math>也不断增大，即随着种群增长，增长率也不断增大。
求解方程（1），要根据该方程求出一个函数，其导数是它本身的常数倍，指数函数具有这个性质。如果令 <math>\displaystyle{ N_{(t)} = C\mathrm{e}^{kt}}</math>，则有
求解方程（1），要根据该方程求出一个函数，其导数是它本身的常数倍，指数函数具有这个性质。如果令 <math>\displaystyle{ N_{(t)} = C\mathrm{e}^{kt}}</math>，则有
然而，在自然界中，种群的增长并非总是无限制的。马尔萨斯模型描述了在资源无限情况下的指数增长，但这在现实中几乎不存在。大多数增长过程会受到环境承载力（如食物、空间、天敌等）的限制。韦尔霍斯特意识到人口增长不但和现有人口相关，还和可用资源有关，即存在一个人口的承载量。
然而，在自然界中，种群的增长并非总是无限制的。马尔萨斯模型描述了在资源无限情况下的指数增长，但这在现实中几乎不存在。大多数增长过程会受到环境承载力（如食物、空间、天敌等）的限制。韦尔霍斯特意识到人口增长不但和现有人口相关，还和可用资源有关，即存在一个人口的承载量。
在环境资源有限情况下，种群一开始呈指数级增长，当种群规模接近环境容纳量K时，种群趋于稳定（如果种群规模超过K，则会减小至K）。一个考虑到上述两个趋势的模型应该满足如下两个假设：
当N很小时，<math>\frac{\mathrm{d}N}{\mathrm{d}t}\approx kN</math> （开始时，增长率与N成正比）；
当N > K时，<math>\frac{\mathrm{d}N}{\mathrm{d}t} < 0</math> （当N超过K时，N减小）。
一种能同时体现上面两个假设的方法是，假设种群规模的增长率和种群规模成正比，并且和环境容纳量与种群规模之差成正比。
对应的微分方程为<math>\mathrm{d}N/ \mathrm{d}t = cN(K - N)</math>，其中 $c$ 为比例常数，它等价于<math>\frac{\mathrm{d}N}{\mathrm{d}t} = kN\left(1 - \frac{N}{K}\right)</math>，其中k = cK
[[文件:Population_growth.png|替代=|居中|缩略图|680x680像素|图1. 指数增长（Exponential growth）和逻辑斯谛增长（Logistic growth）。引自]]
[[文件:Population_growth.png|替代=|居中|缩略图|680x680像素|图1. 指数增长（Exponential growth）和逻辑斯谛增长（Logistic growth）。引自]]