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其中k为比例常数。方程（1）包含未知函数N及其导数<math>\displaystyle{ \frac{dN}{dt} }</math>，是一个微分方程。

其中k为比例常数。方程（1）包含未知函数N及其导数<math>\displaystyle{ \frac{dN}{dt} }</math>，是一个微分方程。

排除规模为0的种群，那么对所有t都有<math>N_{(t)} > 0</math>。因此，如果k > 0，那么由方程(1)可得，对所有t都有<math>N_{(t)} > 0</math>，这表示种群是不断增长的。事实上，方程(1)表明，随着<math>N_{(t)}</math>不断增大，<math>\displaystyle{ \frac{dN}{dt} }</math>也不断增大，即随着种群增长，增长率也不断增大。

 

排除规模为0的种群，那么对所有t都有<math>N_{(t)} > 0</math>。因此，如果k > 0，那么由方程(1)可得，对所有t都有<math>N_{(t)} > 0</math>，这表示种群是不断增长的。

事实上，方程(1)表明，随着<math>N_{(t)}</math>不断增大，<math>\displaystyle{ \frac{dN}{dt} }</math>也不断增大，即随着种群增长，增长率也不断增大。

 

求解方程（1），要根据该方程求出一个函数，其导数是它本身的常数倍，指数函数具有这个性质。如果令 <math>\displaystyle{ N_{(t)} = C\mathrm{e}^{kt}}</math>，则有

求解方程（1），要根据该方程求出一个函数，其导数是它本身的常数倍，指数函数具有这个性质。如果令 <math>\displaystyle{ N_{(t)} = C\mathrm{e}^{kt}}</math>，则有

<math>N ^ {\prime}_{(t)} = C \left(k e ^ {k t}\right) = k \left(C e ^ {k t}\right) = k N_{(t)}</math>,

<math>N ^ {\prime}_{(t)} = C \left(k e ^ {k t}\right) = k \left(C e ^ {k t}\right) = k N_{(t)}</math>,

即任何形如<math>N_{(t)} = C\mathrm{e}^{kt}</math>的指数函数都是方程的解．

即任何形如<math>N_{(t)} = C\mathrm{e}^{kt}</math>的指数函数都是方程的解。

 

令C为不同的实数值，可以得到方程的解族<math>N_{(t)} = Ce^{kt}</math>。而种群规模只能为正，所以只保留C > 0的解。此外，我们只关心解在t大于初始时间t = 0的部分。代入t = 0，得到<math>N(0) = Ce^{k(0)} = C</math>，所以常数C为种群规模的初值<math>N_{(0)}</math>。

令C为不同的实数值，可以得到方程的解族<math>N_{(t)} = Ce^{kt}</math>。而种群规模只能为正，所以只保留C > 0的解。此外，我们只关心解在t大于初始时间t = 0的部分。代入t = 0，得到<math>N(0) = Ce^{k(0)} = C</math>，所以常数C为种群规模的初值<math>N_{(0)}</math>。

然而，在自然界中，种群的增长并非总是无限制的。马尔萨斯模型描述了在资源无限情况下的指数增长，但这在现实中几乎不存在。大多数增长过程会受到环境承载力（如食物、空间、天敌等）的限制。韦尔霍斯特意识到人口增长不但和现有人口相关，还和可用资源有关，即存在一个人口的承载量。

然而，在自然界中，种群的增长并非总是无限制的。马尔萨斯模型描述了在资源无限情况下的指数增长，但这在现实中几乎不存在。大多数增长过程会受到环境承载力（如食物、空间、天敌等）的限制。韦尔霍斯特意识到人口增长不但和现有人口相关，还和可用资源有关，即存在一个人口的承载量。

一种能同时体现上面两个假设的方法是，假设种群规模的增长率和种群规模成正比，并且和环境容纳量与种群规模之差成正比。

一种能同时体现上面两个假设的方法是，假设种群规模的增长率和种群规模成正比，并且和环境容纳量与种群规模之差成正比。

对应的微分方程为<math>\mathrm{d}N/ \mathrm{d}t = cN(K - N)</math>，其中c为比例常数，它等价于<math>\frac{\mathrm{d}N}{\mathrm{d}t} = kN\left(1 - \frac{N}{K}\right)</math>，其中k = cK

对应的微分方程为<math>\mathrm{d}N/ \mathrm{d}t = cN(K - N)</math>，其中c为比例常数，它等价于<math>\frac{\mathrm{d}N}{\mathrm{d}t} = kN\left(1 - \frac{N}{K}\right)</math>，其中k = cK。

[[文件:Population_growth.png|替代=|居中|缩略图|680x680像素|图1. 指数增长（Exponential growth）和逻辑斯谛增长（Logistic growth）。引自]]

[[文件:Population_growth.png|替代=|居中|缩略图|680x680像素|图1. 指数增长（Exponential growth）和逻辑斯谛增长（Logistic growth）。引自]]