更改

<math>

<math>

\begin{aligned}

\begin{aligned}

\frac{dN}{dt} &= kN

\frac{dN}{dt} &= λN

\end{aligned}

\end{aligned}

</math>

</math>

|{{EquationRef|1}}}}

|{{EquationRef|1}}}}

其中k为比例常数。方程（1）包含未知函数N及其导数<math>\displaystyle{ \frac{dN}{dt} }</math>，是一个微分方程。

其中λ为比例常数。方程（1）包含未知函数N及其导数<math>\displaystyle{ \frac{dN}{dt} }</math>，是一个微分方程。

排除规模为0的种群，那么对所有t都有<math>N_{(t)} > 0</math>。因此，如果k > 0，那么由方程(1)可得，对所有t都有<math>N_{(t)} > 0</math>，这表示种群是不断增长的。

排除规模为0的种群，那么对所有t都有<math>N_{(t)} > 0</math>。因此，如果λ > 0，那么由方程(1)可得，对所有t都有<math>N_{(t)} > 0</math>，这表示种群是不断增长的。

事实上，方程(1)表明，随着<math>N_{(t)}</math>不断增大，<math>\displaystyle{ \frac{dN}{dt} }</math>也不断增大，即随着种群增长，增长率也不断增大。

事实上，方程(1)表明，随着<math>N_{(t)}</math>不断增大，<math>\displaystyle{ \frac{dN}{dt} }</math>也不断增大，即随着种群增长，增长率也不断增大。

求解方程（1），要根据该方程求出一个函数，其导数是它本身的常数倍，指数函数具有这个性质。如果令 <math>\displaystyle{ N_{(t)} = C\mathrm{e}^{kt}}</math>，则有

求解方程（1），要根据该方程求出一个函数，其导数是它本身的常数倍，指数函数具有这个性质。如果令 <math>\displaystyle{ N_{(t)} = C\mathrm{e}^{λt}}</math>，则有

<math>N ^ {\prime}_{(t)} = C \left(k e ^ {k t}\right) = k \left(C e ^ {k t}\right) = k N_{(t)}</math>,

<math>N ^ {\prime}_{(t)} = C \left(λ e ^ {λ t}\right) = λ \left(C e ^ {λ t}\right) = λ N_{(t)}</math>,

即任何形如<math>N_{(t)} = C\mathrm{e}^{kt}</math>的指数函数都是方程的解。

即任何形如<math>N_{(t)} = C\mathrm{e}^{λt}</math>的指数函数都是方程的解。

令C为不同的实数值，可以得到方程的解族<math>N_{(t)} = Ce^{kt}</math>。而种群规模只能为正，所以只保留C > 0的解。此外，我们只关心解在t大于初始时间t = 0的部分。代入t = 0，得到<math>N(0) = Ce^{k(0)} = C</math>，所以常数C为种群规模的初值<math>N_{(0)}</math>。

令C为不同的实数值，可以得到方程的解族<math>N_{(t)} = Ce^{λt}</math>。而种群规模只能为正，所以只保留C > 0的解。此外，我们只关心解在t大于初始时间t = 0的部分。代入t = 0，得到<math>N(0) = Ce^{k(0)} = C</math>，所以常数C为种群规模的初值<math>N_{(0)}</math>。