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=数据驱动算法=

=数据驱动算法=

Koopman[[算子]]理论上可以用线性方法来研究任何[[非线性系统]]。但这个Koopman[[算子]]是[[无限]]维的，无法直接计算和应用。那么如何用有限的、来自现实的数据，去逼近[[无限]]维的Koopman线性[[算子]]呢？最开始的方法是[[动力学]][[模式分解]]（DMD，Dynamic Mode Decomposition），它直接把“[[状态变量]]本身”当作观测函数。然而，对于真正的[[非线性系统]]，DMD的近似就太粗糙了。故此后学者们围绕着“如何更有效地拓展观测空间”与“如何优化求解过程”展开。扩展动态[[模式分解]]（EDMD, Extended Dynamic Mode Decomposition）通过预定义的[[非线性]]函数显式拓展；残差动态[[模式分解]]（ResDMD, Residual DMD）致力于严格评估逼近精度并筛选可靠模态；核动态[[模式分解]]（Kernel DMD）利用[[核技巧]]隐式拓展；基于[[神经网络]]的动态[[模式分解]]（[[Neural Network]] DMD）用[[深度学习]]自动学习最优的拓展方式；时间延迟动态[[模式分解]]（Time-delay DMD/Hankel DMD）通过历史数据构造[[嵌入空间]]；[[随机]]动态[[模式分解]]（Randomized DMD）专注于利用[[随机]]算法提升高维问题的计算效率；最优[[模式分解]]（OPD/Optimal DMD）将问题重构为全局[[非线性]]优化以求取最佳拟合；多分辨率动态[[模式分解]]（mrDMD, Multiresolution DMD）与[[递归]]动态[[模式分解]]（RDMD, Recursive DMD）则能分离系统在不同时间尺度或层次上的[[动力学]]；前向-后向动态[[模式分解]]（fbDMD, forward-backward DMD）通过平均正反向数据提升稳定性；张量动态[[模式分解]]（Tensor DMD）处理具有空间结构的多维数据；受控动态[[模式分解]]（Controlled DMD）则旨在辨识含外部输入系统的Koopman模型。

在分析复杂的[[非线性系统]]时，我们希望能获得一个全局的线性视角，以便使用成熟的[[线性系统]]理论和方法。Koopman[[算子]]理论通过将系统的状态“提升”到由可观测函数构成的无穷维空间，从而将非线性动力学问题转化为一个无穷维线性算子问题。然而，这个理想的Koopman算子本身是无穷维的，无法直接计算，需要通过数据来近似。

 

那么如何用有限的、来自现实的数据，去逼近[[无限]]维的Koopman线性[[算子]]呢？最开始的方法是[[动力学]][[模式分解]]（DMD，Dynamic Mode Decomposition），它直接把“[[状态变量]]本身”当作观测函数。然而，对于真正的[[非线性系统]]，DMD的近似就太粗糙了。故此后学者们围绕着“如何更有效地拓展观测空间”与“如何优化求解过程”展开。扩展动态[[模式分解]]（EDMD, Extended Dynamic Mode Decomposition）通过预定义的[[非线性]]函数显式拓展；残差动态[[模式分解]]（ResDMD, Residual DMD）致力于严格评估逼近精度并筛选可靠模态；核动态[[模式分解]]（Kernel DMD）利用[[核技巧]]隐式拓展；基于[[神经网络]]的动态[[模式分解]]（[[Neural Network]] DMD）用[[深度学习]]自动学习最优的拓展方式；时间延迟动态[[模式分解]]（Time-delay DMD/Hankel DMD）通过历史数据构造[[嵌入空间]]；[[随机]]动态[[模式分解]]（Randomized DMD）专注于利用[[随机]]算法提升高维问题的计算效率；最优[[模式分解]]（OPD/Optimal DMD）将问题重构为全局[[非线性]]优化以求取最佳拟合；多分辨率动态[[模式分解]]（mrDMD, Multiresolution DMD）与[[递归]]动态[[模式分解]]（RDMD, Recursive DMD）则能分离系统在不同时间尺度或层次上的[[动力学]]；前向-后向动态[[模式分解]]（fbDMD, forward-backward DMD）通过平均正反向数据提升稳定性；张量动态[[模式分解]]（Tensor DMD）处理具有空间结构的多维数据；受控动态[[模式分解]]（Controlled DMD）则旨在辨识含外部输入系统的Koopman模型。