更改

一维动力学 (查看源代码)

2025年12月21日 (日) 13:31的版本

添加180字节、 2025年12月21日 (日) 13:31

将微分号 d 统一为 \mathrm{d}

第6行：第6行：

一维[[连续]][[动力系统]]的研究起源于 19 世纪末对常[[微分方程]]定性理论的探索。法国[[数学]]家亨利·[[庞加莱]]（[[Henri Poincaré]]）在其著作《天体力学新方法》（1892）中提出了通过几何方法研究[[微分方程]]解整体行为的思想，确立了[[相空间]]、轨道、[[平衡点]]与稳定性等基本概念。<ref name="Poincare1892">Poincaré, H. (1892). ''Les Méthodes Nouvelles de la Mécanique Céleste.'' Paris: Gauthier-Villars.</ref> 在这一框架下，一维[[动力系统]]通常以自治常[[微分方程]]

−

+

<math>\frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d} t} = f(x)</math>

为基本形式，其研究重点集中于[[平衡点]]的存在性、稳定性及解的定性结构。这些思想构成了低维[[动力系统]]理论的基础。<ref name="Katok1995">Katok, A. & Hasselblatt, B. (1995). ''Introduction to the Modern Theory of Dynamical Systems.'' Cambridge University Press.</ref>

第71行：第71行：

===[[势函数]]===

−

除了使用 <math>f(x)</math> 分析外，还可以使用系统的[[势函数]]<math>V(x)</math>进行分析。它由<math>f(x)=-\frac{dV}{dx}</math>定义。通过该定义，系统行为等价于一个过阻尼粒子在[[势能]]景观<math>V(x)</math>中的运动。粒子总是向[[势能]]减小 (<math>\frac{dV}{dt}\leq 0</math>) 的[[方向]]运动。其中系统的稳定[[不动点]] <math>\leftrightarrow</math> <math>V(x)</math>的局部极小值（[[势能]]谷），而不稳定[[不动点]] <math>\leftrightarrow</math> <math>V(x)</math>的局部极大值（[[势能]]峰）

+

除了使用 <math>f(x)</math> 分析外，还可以使用系统的[[势函数]]<math>V(x)</math>进行分析。它由<math>f(x)=-\frac{\mathrm{d} V}{\mathrm{d} x}</math>定义。通过该定义，系统行为等价于一个过阻尼粒子在[[势能]]景观<math>V(x)</math>中的运动。粒子总是向[[势能]]减小 (<math>\frac{\mathrm{d} V}{\mathrm{d} t}\leq 0</math>) 的[[方向]]运动。其中系统的稳定[[不动点]] <math>\leftrightarrow</math> <math>V(x)</math>的局部极小值（[[势能]]谷），而不稳定[[不动点]] <math>\leftrightarrow</math> <math>V(x)</math>的局部极大值（[[势能]]峰）

==解的性质==

第99行：第99行：

'''数值积分方法'''（numerical integration methods）是通过将[[连续]]时间离散化，把常[[微分方程]]

−

+

<math>\frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d} t}=f(x,t)</math>

转化为逐步更新的[[递推关系]]，从而在[[离散时间]]点上近似计算系统轨道随时间演化的方法<ref name="Burden2011">Burden, R. L., & Faires, J. D. (2011). ''Numerical Analysis'' (9th ed.). Brooks Cole.</ref><ref name="Hairer1993">Hairer, E., Nørsett, S., & Wanner, G. (1993). ''Solving Ordinary Differential Equations I: Nonstiff Problems''. Springer.</ref>。在[[动力系统]]问题中，[[解析解]]往往难以获得，而[[相图]]与轨道结构的定性研究又依赖对轨道的生成与比较，因此数值积分成为研究与数值实验中的基础工具之一<ref name="Strogatz1994" />。

第135行：第135行：

−

\frac{dN}{dt} = rN\left(1 - \frac{N}{K}\right)

+

\frac{\mathrm{d} N}{\mathrm{d} t} = rN\left(1 - \frac{N}{K}\right)

</math>

第251行：第251行：

=== [[数学]]形式 ===

<math>

−

\frac{dA}{dt} = \frac{c_IA^{\beta_I}}{1-c_L \beta_L A^{\beta_L-1}}

+

\frac{\mathrm{d} A}{\mathrm{d} t} = \frac{c_IA^{\beta_I}}{1-c_L \beta_L A^{\beta_L-1}}

</math>

第297行：第297行：

====稳定性====

−

对奇异点进行稳定性分析，即判断 <math>\left.\frac{d^2t}{dA^2}\right|_{A=A^*}=\frac{(A^*)^{-\beta_I-1}}{c_I}(1-\beta_L)</math>的正负。我们得到两种情况：

+

对奇异点进行稳定性分析，即判断 <math>\left.\frac{\mathrm{d} ^2t}{\mathrm{d} A^2}\right|_{A=A^*}=\frac{(A^*)^{-\beta_I-1}}{c_I}(1-\beta_L)</math>的正负。我们得到两种情况：

−

* 当<math>\beta_L > 1</math>时，<math> \frac{d^2t}{dA^2}< 0</math>，意味着此时奇异点是一个[[吸引子]]，企业生长靠近该点。

+

* 当<math>\beta_L > 1</math>时，<math> \frac{\mathrm{d} ^2t}{\mathrm{d} A^2}< 0</math>，意味着此时奇异点是一个[[吸引子]]，企业生长靠近该点。

−

* 当<math>\beta_L < 1</math>时，<math> \frac{d^2t}{dA^2}< 0</math>，意味着此时奇异点是一个排斥子，企业规模远离该点。

+

* 当<math>\beta_L < 1</math>时，<math> \frac{\mathrm{d} ^2t}{\mathrm{d} A^2}< 0</math>，意味着此时奇异点是一个排斥子，企业规模远离该点。

右图展示了不同<math>\beta_L</math>取值情况的企业生长轨迹及其变化率的可视化图像

何瑞杰

108

个编辑