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→动力学模式分解（DMD）
<ref name=Schmid_2008>P. J. Schmid and J. Sesterhenn, Dynamic mode decomposition of numerical and experimental data, in 61st Annual Meeting of the APS Division of Fluid Dynamics, American Physical Society, 2008. (Cited on pp. 249, 258)</ref><ref name=Schmid_2010>P. J. Schmid, Dynamic mode decomposition of numerical and experimental data, J. Fluid Mech., 656 (2010), pp. 5--28. (Cited on pp. 231, 237, 238, 249, 250, 255, 258, 284, 292)</ref>在[[流体动力学]]领域引入，已迅速成为从数据中近似 Koopman [[算子]]的标准算法。它是一种能够从数值[[模拟]]或实验测量的[[时间序列]]中直接提取[[时空相干结构]]的[[数据分析]]方法。该方法不依赖于流动的系统矩阵，而是基于切片数据之间存在线性演化[[算子]]的假设。通过近似该[[算子]]的[[特征值]]，我们可以将复杂的流场分解为具有单一特定[[频率]]和增长/衰减率的“动态模态”<ref name=Rowley_2009>C. W. Rowley, I. Mezi\' c, S. Bagheri, P. Schlatter, and D. Henningson, Spectral analysis of nonlinear flows, J. Fluid Mech., 645 (2009), pp. 115--127. (Cited on pp. 231, 237, 238, 246, 249, 255, 256, 258, 259, 284, 292)</ref><ref name=Tu_2014> J. H. Tu, C. W. Rowley, D. M. Luchtenburg, S. L. Brunton, and J. N. Kutz, On dynamic mode decomposition: Theory and applications, J. Comput. Dynam., 1 (2014), pp. 391--421. </ref>。其结果本质上可视为[[线性系统]]的全局稳定性模态或[[非线性系统]]的线性切向近似。
<ref name=Schmid_2008>P. J. Schmid and J. Sesterhenn, Dynamic mode decomposition of numerical and experimental data, in 61st Annual Meeting of the APS Division of Fluid Dynamics, American Physical Society, 2008. (Cited on pp. 249, 258)</ref><ref name=Schmid_2010>P. J. Schmid, Dynamic mode decomposition of numerical and experimental data, J. Fluid Mech., 656 (2010), pp. 5--28. (Cited on pp. 231, 237, 238, 249, 250, 255, 258, 284, 292)</ref>在[[流体动力学]]领域引入，已迅速成为从数据中近似 Koopman [[算子]]的标准算法。它是一种能够从数值[[模拟]]或实验测量的[[时间序列]]中直接提取[[时空相干结构]]的[[数据分析]]方法。该方法不依赖于流动的系统矩阵，而是基于切片数据之间存在线性演化[[算子]]的假设。通过近似该[[算子]]的[[特征值]]，我们可以将复杂的流场分解为具有单一特定[[频率]]和增长/衰减率的“动态模态”<ref name=Rowley_2009>C. W. Rowley, I. Mezi\' c, S. Bagheri, P. Schlatter, and D. Henningson, Spectral analysis of nonlinear flows, J. Fluid Mech., 645 (2009), pp. 115--127. (Cited on pp. 231, 237, 238, 246, 249, 255, 256, 258, 259, 284, 292)</ref><ref name=Tu_2014> J. H. Tu, C. W. Rowley, D. M. Luchtenburg, S. L. Brunton, and J. N. Kutz, On dynamic mode decomposition: Theory and applications, J. Comput. Dynam., 1 (2014), pp. 391--421. </ref>。其结果本质上可视为[[线性系统]]的全局稳定性模态或[[非线性系统]]的线性切向近似。
2009年Rowley 等人<ref name=Rowley_2009 />首次建立了 DMD 与 Koopman 算子的首次联系。DMD算法最初是为了从高维时间序列数据中识别[[时空相干结构]]（spatio-temporal coherent structures）而开发的，这些结构在流体动力学中很常见。DMD的计算可以基于数据上的奇异值分解（[[SVD]]），因此它为高维数据提供了可扩展的降维方法。[[SVD]]根据每个模式捕获原始数据方差的程度对模式进行分层排序。这些模式即使在数据的时间顺序被打乱时也保持不变。
2009年Rowley 等人<ref name=Rowley_2009 />首次建立了 DMD 与 Koopman 算子的联系。DMD算法最初是为了从高维时间序列数据中识别[[时空相干结构]]（spatio-temporal coherent structures）而开发的，这些结构在流体动力学中很常见。DMD的计算可以基于数据上的奇异值分解（[[SVD]]），因此为高维数据提供了可扩展的降维方法。[[SVD]]根据每个模式捕获原始数据方差的程度对模式进行分层排序。这些模式即使在数据的时间顺序被打乱时也保持不变。
相比之下，DMD 模式是 SVD 模式的线性组合，这些组合被专门选择以提取在时间上具有相同相干线性行为的空间相关结构，表现为以固定频率振荡并伴随增长或衰减。因此，DMD 可以被视为空间上的SVD与时间上的傅里叶变换的结合，结合了两种方法的优点 <ref name=Chen_2012>K. K. Chen, J. H. Tu, and C. W. Rowley, Variants of dynamic mode decomposition: Boundary condition, Koopman, and Fourier analyses, J. Nonlinear Sci., 22 (2012), pp. 887--915. (Cited on pp. 249, 253, 263, 278, 292)</ref><ref name=Kutz_2016>J. N. Kutz, S. L. Brunton, B. W. Brunton, and J. L. Proctor, Dynamic Mode Decomposition: Data-Driven Modeling of Complex Systems, SIAM, Philadelphia, 2016, https://doi.org/10.1137/1.9781611974508. (Cited on pp. 231, 249, 251, 252, 256, 278, 284)</ref>。
相比之下，DMD 模式是 SVD 模式的线性组合，这些组合被专门选择以提取在时间上具有相同相干线性行为的空间相关结构，表现为以固定频率振荡并伴随增长或衰减。因此，DMD 可以被视为空间上的SVD与时间上的傅里叶变换的结合，结合了两种方法的优点 <ref name=Chen_2012>K. K. Chen, J. H. Tu, and C. W. Rowley, Variants of dynamic mode decomposition: Boundary condition, Koopman, and Fourier analyses, J. Nonlinear Sci., 22 (2012), pp. 887--915. (Cited on pp. 249, 253, 263, 278, 292)</ref><ref name=Kutz_2016>J. N. Kutz, S. L. Brunton, B. W. Brunton, and J. L. Proctor, Dynamic Mode Decomposition: Data-Driven Modeling of Complex Systems, SIAM, Philadelphia, 2016, https://doi.org/10.1137/1.9781611974508. (Cited on pp. 231, 249, 251, 252, 256, 278, 284)</ref>。
下图是一张关于DMD算法在流体流动应用上的算法流程示意图<ref name=brunton_2022 />。图中左侧展示了一系列实验图像时间序列，即切片数据。时间t从上到下增加，表示流体流经圆柱体时的动态变化。有了这些数据作为输入，下图中间部分是拟合过程。我们可以直接通过最小二乘法拟合出线性迭代矩阵A。右侧则是DMD的输出。一方面我们可以预测系统未来的演化，更重要的，我们可以通过对矩阵A做特征值分解，得到Koopman特征值和特征函数的近似（理论见上文“Koopman模式分解”章节），从而可以把原本的动力学分解成几个主要的动力学模式。这些动力学模式分别提取出了原动力学中具有物理含义的结构，比如平均流场、不同尺度的涡旋等等。
下图是一张关于DMD算法在流体流动应用上的算法流程示意图<ref name=brunton_2022 />。图中左侧展示了一系列实验图像时间序列，即切片数据。时间t从上到下增加，表示流体流经圆柱体时的动态变化。有了这些数据作为输入，下图中间部分是拟合过程。我们可以直接通过最小二乘法拟合出线性迭代矩阵A。右侧则是DMD的输出。一方面我们可以预测系统未来的演化，更重要的，我们可以通过对矩阵A做特征值分解，得到Koopman特征值和特征函数的近似（理论见上文“Koopman模式分解”章节），从而可以把原本的动力学分解成几个主要的动力学模式。这些动力学模式分别提取出了原动力学中具有物理含义的结构，比如平均流场、不同尺度的涡旋等等。
[[文件:DMD算法图3.1.png|410x410px|替代=]]
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1.组建切片数据<math>\mathbf{X}</math>和<math>\mathbf{X'}</math>。
1.组建切片数据<math>\mathbf{X}</math>和<math>\mathbf{X'}</math>。