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→扩展DMD
由于扩展向量<math>\mathbf{z}</math>可能远大于状态<math>\mathbf{x}</math>的维数，通常有必要使用[[核方法]]来计算这个回归问题。近年来，利用[[核方法]]近似Koopman算子的DMD方法已经成为一个重要的研究课题<ref name=william_2015_kernal>M. O. Williams, C. W. Rowley, and I. G. Kevrekidis, A kernel approach to data-driven Koopman spectral analysis, J. Comput. Dynam., 2 (2015), pp. 247--265. (Cited on pp. 255, 256, 284, 285, 294, 318)</ref>，具体可参考下文“核DMD”的章节。在[[无限]]样本数据的情况下，eDMD矩阵会收敛到由这些函数所张成的子空间上的Koopman[[算子]]的[[投影]]。如前文所述，选取观测函数时注意要让它们能够张成Koopman不变子空间。
由于扩展向量<math>\mathbf{z}</math>可能远大于状态<math>\mathbf{x}</math>的维数，通常有必要使用[[核方法]]来计算这个回归问题。近年来，利用[[核方法]]近似Koopman算子的DMD方法已经成为一个重要的研究课题<ref name=william_2015_kernal>M. O. Williams, C. W. Rowley, and I. G. Kevrekidis, A kernel approach to data-driven Koopman spectral analysis, J. Comput. Dynam., 2 (2015), pp. 247--265. (Cited on pp. 255, 256, 284, 285, 294, 318)</ref>，具体可参考下文“核DMD”的章节。在[[无限]]样本数据的情况下，eDMD矩阵会收敛到由这些函数所张成的子空间上的Koopman[[算子]]的[[投影]]。如前文所述，选取观测函数时注意要让它们能够张成Koopman不变子空间。
在实际应用中，我们通常会将原始状态<math>\mathbf{x}</math>也包含在扩展eDMD[[向量]]<math>\mathbf{z}</math>中。然而，有研究表明<ref name=Brunton_2016 />，对于包含多个[[不动点]]、周期轨道或其他[[吸引子]]的系统，如果在eDMD中引入状态<math>\mathbf{x}</math>，会导致观测空间不是Koopman不变子空间。此外，这类系统无法与具有单个不动点的有限维线性eDMD系统[[拓扑共轭]]。例如，[[Duffing振子]]系统有三个不动点，因此没有任何有限线性系统可以准确地全局拟合状态<math>\mathbf{x}</math>的演化。不过，像[[哈密顿量]]这样的特征函数可能能够被准确地展开。因此，区分出准确和伪特征函数对于eDMD来说至关重要。
防止过拟合的一种方法是推广稀疏性，比如[[SINDy]]（Sparse Identification of Nonlinear Dynamics）方法<ref name=brunton_2016_sindy>S. L. Brunton, J. L. Proctor, and J. N. Kutz, Discovering governing equations from data by sparse identification of nonlinear dynamical systems, Proc. Natl. Acad. Sci. USA, 113 (2016), pp. 3932--3937. (Cited on pp. 255, 257, 286)</ref>。它可以基于一些约束条件筛选观测函数，从<math>{g_k(\mathbf{x})}_{k=1}^p</math>中选择最重要的几项即可。
与标准DMD类似，矩阵<math>\mathbf{Z}</math>中的数据不必来源于单条轨迹，也可以通过更高效的[[采样]]方式获取，比如[[拉丁超立方采样]]，或在[[相空间]]中[[随机]][[采样]]。在这种情况下，<math>\mathbf{Z}'</math>中的数据则通过将<math>\mathbf{Z}</math>中的数据沿[[动力学系统]]向前推进一个时间步获得。
'''性质（特征函数的计算）：'''Koopman[[算子]]的[[特征函数]]一定可以形成Koopman不变子空间，并为[[动力学]]提供了理想的基底或坐标系来表示其演化。这些[[特征函数]]可以通过给定的观测函数来近似表示。我们可以将一个[[特征函数]]<math>\varphi(\mathbf{x})</math>用函数[[集合]]<math>{g_k(\mathbf{x})}_{k=1}^p</math>展开近似为：
'''性质（特征函数的计算）：'''Koopman[[算子]]的[[特征函数]]一定可以形成Koopman不变子空间，并为[[动力学]]提供了理想的基底或坐标系来表示其演化。这些[[特征函数]]可以通过给定的观测函数来近似表示。我们可以将一个[[特征函数]]<math>\varphi(\mathbf{x})</math>用函数[[集合]]<math>{g_k(\mathbf{x})}_{k=1}^p</math>展开近似为：
:<math> \lambda \boldsymbol{\xi}^T = \boldsymbol{\xi}^T \mathbf{Z}' \mathbf{Z}^\dagger </math>
:<math> \lambda \boldsymbol{\xi}^T = \boldsymbol{\xi}^T \mathbf{Z}' \mathbf{Z}^\dagger </math>
[[特征函数]]<math>\varphi(\mathbf{x})</math>是由<math>\mathbf{Z}' \mathbf{Z}^\dagger</math>的左eDMD[[特征向量]]<math>\boldsymbol{\xi}^T</math>构成的，在观测函数<math>{g_k(\mathbf{x})}_{k=1}^p</math>下，<math>\varphi \approx \boldsymbol{\xi}^T \mathbf{z}</math>。右[[特征向量]]是eDMD模态，与DMD模态[[类似]]。
因此，[[特征函数]]<math>\varphi(\mathbf{x})</math>是由<math>\mathbf{Z}' \mathbf{Z}^\dagger</math>的左eDMD[[特征向量]]<math>\boldsymbol{\xi}^T</math>构成的，在观测函数<math>{g_k(\mathbf{x})}_{k=1}^p</math>下，<math>\varphi \approx \boldsymbol{\xi}^T \mathbf{z}</math>。右[[特征向量]]是eDMD模态，与DMD模态[[类似]]。
==残差DMD==
==残差DMD==