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第136行： − − [[文件:Logistics Equation - Graph.png|none|缩略图|250px|逻辑斯谛方程解的典型 S 型增长曲线示意图，展示种群数量随时间增长并逐渐趋近环境承载量的行为<ref>{{cite web − |title=Logistic Function − |url=https://byjus.com/maths/logistic-function/ − |website=BYJU'S − |publisher=BYJU'S − |access-date=2025-12-19 − }}</ref>。]] − [[File:7c938bef2d22821917dce432d6417aff.png|none|缩略图|250px|逻辑斯谛方程的相图，原点是系统的不稳定不动点。系统有一个稳定不动点 $N=K$，即为环境承载量。]] 第150行：
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→连续时间模型
=== 连续时间模型 ===
=== 连续时间模型 ===
在最常见的连续时间形式中，逻辑斯谛方程写为
在最常见的连续时间形式中，逻辑斯谛方程写为
<math display="block">
<math display="block">
</math>
</math>
其中 <math>N(t)</math> 表示时间 <math>t</math> 的种群数量，<math>r</math> 为内禀增长率，<math>K</math> 为环境承载量。方程右端由两部分构成：<math>rN</math> 对应“数量越多增长越快”的[[自催化]]式增长趋势，而因子 <math>1-\frac{N}{K}</math> 则体现资源限制带来的[[负反馈]]，使得当 <math>N</math> 接近 <math>K</math> 时增长率趋于零，从而自然产生增长饱和并形成 S 型增长曲线<ref name="Murray2002" />。
其中 <math>N(t)</math> 表示时间 <math>t</math> 的种群数量，<math>r</math> 为内禀增长率，<math>K</math> 为环境承载量。方程右端由两部分构成：<math>rN</math> 对应“数量越多增长越快”的[[自催化]]式增长趋势，而因子 <math>1-\frac{N}{K}</math> 则体现资源限制带来的[[负反馈]]，使得当 <math>N</math> 接近 <math>K</math> 时增长率趋于零，从而自然产生增长饱和并形成 S 型增长曲线<ref name="Murray2002" />。系统的相图如下图所示：原点是系统的不稳定不动点。系统有一个稳定不动点 <math>N=K</math>，即为环境承载量.
[[File:7c938bef2d22821917dce432d6417aff.png|none|缩略图|250px|逻辑斯谛方程的相图，原点是系统的不稳定不动点。系统有一个稳定不动点 <math>N=K</math>，即为环境承载量。]]
在给定初值条件下，该方程可写出解析解
在给定初值条件下，该方程可写出解析解
<math display="block">
<math display="block">
</math>
</math>
其中常数 <math>A</math> 由初始种群数量决定。该解的曲线如右图所示，直观地展示了系统从早期快速增长到后期逐渐稳定在 <math>K</math> 附近的过渡过程。
其中常数 <math>A</math> 由初始种群数量决定。该解的曲线如下图所示，直观地展示了系统从早期快速增长到后期逐渐稳定在 <math>K</math> 附近的过渡过程。
[[文件:Logistics Equation - Graph.png|none|缩略图|250px|逻辑斯谛方程解的典型 S 型增长曲线示意图，展示种群数量随时间增长并逐渐趋近环境承载量的行为<ref>{{cite web
|title=Logistic Function
|url=https://byjus.com/maths/logistic-function/
|website=BYJU'S
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|access-date=2025-12-19
}}</ref>。]]
=== 离散模型与应用拓展 ===
=== 离散模型与应用拓展 ===