更改

=== 超指数增长：繁荣与崩溃===

=== 超指数增长：繁荣与崩溃===

Bettencourt等<ref name=":3" />提出，由超线性规模法则（[math]\beta > 1[/math]）驱动的城市增长，这种增长模式被称'''“繁荣-崩溃”（boom/collapse）'''模式。方程{{EquationNote|12}}的解分为两种情况：

Bettencourt等<ref name=":3" />提出，由超线性规模法则（[math]\beta > 1[/math]）驱动的城市增长，这种增长模式被称'''“繁荣-崩溃”（boom/collapse）'''模式。方程({{EquationNote|12}})的解分为两种情况：

1. 当[math]N(0)<N^*= {(\frac{R}{Y_{0}})^{\frac{1}{\beta-1}}}[/math]时：

1. 当[math]N(0)<N^*= {(\frac{R}{Y_{0}})^{\frac{1}{\beta-1}}}[/math]时：

当资源稀缺时，超线性动态的特点是崩溃（collapse），此时的生长曲线呈现如下图所示。这反映了过度依赖有限资源而导致的不稳定性和脆弱性<ref name=":3" />。

当资源稀缺时，超线性动态的特点是崩溃（collapse），此时的生长曲线呈现如下图所示。这反映了过度依赖有限资源而导致的不稳定性和脆弱性<ref name=":3" />。

[[文件:城市崩溃曲线.png|无|缩略图|400x400像素|城市生长方程{{EquationNote|12}}在第一种情况下([math]N(0)<N^*[/math])的解曲线。这是一条指数衰退的曲线]]

[[文件:城市崩溃曲线.png|无|缩略图|400x400像素|城市生长方程({{EquationNote|12}})在第一种情况下([math]N(0)<N^*[/math])的解曲线。这是一条指数衰退的曲线]]

2. 当[math]N(0)>N^*= {(\frac{R}{Y_{0}})^{\frac{1}{\beta-1}}}[/math]时

2. 当[math]N(0)>N^*= {(\frac{R}{Y_{0}})^{\frac{1}{\beta-1}}}[/math]时

城市呈现超指数增长，即在有限时间内，人口规模[math]N(t)[/math]达到无穷大，其生长曲线表现为如图d右所示。

城市呈现超指数增长，即在有限时间内，人口规模[math]N(t)[/math]达到无穷大，其生长曲线表现为如图d右所示。

[[文件:Superlinear growth curve.png|替代=|无|城市生长方程{{EquationNote|12}}的第二种情况([math]N(0)>N^*[/math])的解曲线。这是一条超指数生长曲线，即在有限时间内([math]t_c[/math])，[math]N(t)\rightarrow \infty[/math]。|缩略图|400x400像素]]

[[文件:Superlinear growth curve.png|替代=|无|城市生长方程({{EquationNote|12}})的第二种情况([math]N(0)>N^*[/math])的解曲线。这是一条超指数生长曲线，即在有限时间内([math]t_c[/math])，[math]N(t)\rightarrow \infty[/math]。|缩略图|400x400像素]]

其中[math]t_c[/math]为人口规模达到无穷的时间点，该点也被称为'''有限时间奇点'''。

其中[math]t_c[/math]为人口规模达到无穷的时间点，该点也被称为'''有限时间奇点'''。