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'''残差DMD算法'''<ref name=Colbrook_2024>Colbrook, M. J. & Townsend, A. Rigorous data‐driven computation of spectral properties of koopman operators for dynamical systems. Commun. Pure Appl. Math. 77, 221–283 (2024).</ref>的核心思路是：通过数据驱动的方式求解近似Koopman矩阵<math>K</math>，再基于此筛选出“靠谱”的Koopman候选特征对（<math>\lambda, g</math>）——筛选的核心依据就是前文定义的残差<math>\text{res}(\lambda, g)</math>，残差越小说明候选特征对越接近真实情况。

'''残差DMD算法'''<ref name=Colbrook_2024>Colbrook, M. J. & Townsend, A. Rigorous data‐driven computation of spectral properties of koopman operators for dynamical systems. Commun. Pure Appl. Math. 77, 221–283 (2024).</ref>的核心思路是：通过数据驱动的方式求解近似Koopman矩阵<math>K</math>，再基于此筛选出“靠谱”的Koopman候选特征对（<math>\lambda, g</math>）——筛选的核心依据就是前文定义的残差<math>\text{res}(\lambda, g)</math>，残差越小说明候选特征对越接近真实情况。

'''输入：'''系统变量的初始状态<math>\{x^{(j)}\}_{j=1}^M</math>、系统变量的下一时刻状态<math>\{y^{(j)}=F(x^{(j)})\}_{j=1}^M</math>、每个点对应的权重<math>\{w_j\}_{j=1}^M</math>、字典函数<math>\{\psi_j\}_{j=1}^{N}</math>、判定是否是真特征值的阈值<math>\epsilon>0</math>

'''输入：'''系统变量的初始状态<math>\{x^{(j)}\}_{j=1}^M</math>、系统变量的下一时刻状态<math>\{y^{(j)}=F(x^{(j)})\}_{j=1}^M</math>、每个点对应的权重<math>\{w_j\}_{j=1}^M</math>、字典函数<math>\{\psi_j\}_{j=1}^{N}</math>（具体使用中，可用观测函数）、判定是否是真特征值的阈值<math>\epsilon>0</math>

# 计算三个核心矩阵：<math>\Psi_X^* W \Psi_X</math>、<math>\Psi_X^* W \Psi_Y</math>、<math>\Psi_Y^* W \Psi_Y</math>（<math>\Psi_X/\Psi_Y</math>为字典在<math>x/y</math>上的取值矩阵，<math>W</math>为权重对角矩阵）。

# 计算三个核心矩阵：<math>\Psi_X^* W \Psi_X</math>、<math>\Psi_X^* W \Psi_Y</math>、<math>\Psi_Y^* W \Psi_Y</math>（<math>\Psi_X/\Psi_Y</math>为字典在<math>x/y</math>上的取值矩阵，<math>W</math>为权重对角矩阵）。

其中<math>\overline{\lambda}, \overline{\xi}</math>分别表示共轭的特征值和特征函数组合系数。

其中<math>\overline{\lambda}, \overline{\xi}</math>分别表示共轭的特征值和特征函数组合系数。

==理论==

==理论==