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→残差DMD
==残差DMD==
==残差DMD==
扩展DMD允许我们用各种各样的非线性函数做观测函数，并且最终能估计出Koopman算子的特征值和特征函数，但这样估算出来的特征值谱容易面临[[谱污染]]的问题。所谓谱污染，便是指算出来的特征值有可能是虚假的特征值。原本特征值谱告诉我们的是，动力系统里有哪些增长、衰减或振荡的模式，而虚假的特征值对应着动力系统里并不真实存在的模式，是虚假的规律。为此，我们有了[[伪特征值]]（Pseudo-eigenvalues）这样的概念。[[伪特征值]]指的是当使用有限维矩阵近似来表示无限维 Koopman 算子 <math>\mathcal{K}</math> 时，所计算出的[[特征值]] <math>\lambda</math> 有可能并不属于真实 Koopman 算子的谱 <math>\sigma(\mathcal{K})</math>。
'''残差DMD算法'''<ref name=Colbrook_2024>Colbrook, M. J. & Townsend, A. Rigorous data‐driven computation of spectral properties of koopman operators for dynamical systems. Commun. Pure Appl. Math. 77, 221–283 (2024).</ref>的核心思路是：通过数据驱动的方式求解近似Koopman矩阵<math>K</math>，再基于此筛选出“靠谱”的Koopman候选特征对（<math>\lambda, g</math>）——筛选的核心依据就是前文定义的残差<math>\text{res}(\lambda, g)</math>，残差越小说明候选特征对越接近真实情况。
'''定义（算子的伪特征值）：'''计算伪特征值，其实就是在给定一个特征值时，我们可以算出在多大程度上该特征值会被视为是虚假的特征值。当人为给定阈值<math>\epsilon</math>时，满足差距在阈值以内的特征值可被认为是真实的特征值。而这样的特征值的集合便叫做<math>\epsilon</math>-伪谱。其定义如下<ref name=Colbrook_2023>Colbrook, M. J., Ayton, L. J. & Szőke, M. Residual dynamic mode decomposition: Robust and verified koopmanism. J. Fluid Mech. 955, A21 (2023).</ref>：
:<math>
\sigma_\epsilon(\mathcal{K}) := \text{cl} \left( \left\{ \lambda \in \mathbb{C} : \|(\mathcal{K} - \lambda)^{-1}\| > 1/\epsilon \right\} \right) = \text{cl} \left( \bigcup_{\|\mathcal{B}\| < \epsilon} \sigma(\mathcal{K} + \mathcal{B}) \right)
</math>
其中 <math>\text{cl}</math> 表示[[集合]]的闭包。该定义刻画了对于任意给定的精度 <math>\epsilon</math>，能够以小于 <math>\epsilon</math> 的残差近似满足[[特征值]]方程的标量 <math>\lambda</math> 的[[集合]]。<math>\epsilon</math>反应的就是观测空间偏离不变子空间的程度。如果<math>\epsilon=0</math>，那么伪谱中所有的特征值一定都是真实的特征值。
残差动态[[模式分解]]（ResDMD<ref name=Colbrook_2023 /><ref name=Colbrook_2024>Colbrook, M. J. & Townsend, A. Rigorous data‐driven computation of spectral properties of koopman operators for dynamical systems. Commun. Pure Appl. Math. 77, 221–283 (2024).</ref> 通过清晰地呈现特征值偏离真实系统的残差，有效区分真实[[特征值]]与虚假的特征值，解决了一般算法下因有限维假设和离散化误差导致的谱污染问题，详情请查阅[[残差DMD]]。
'''残差DMD算法'''<ref name=Colbrook_2024 />的核心思路是：通过数据驱动的方式求解近似Koopman矩阵<math>K</math>，再基于此筛选出“靠谱”的Koopman候选特征对（<math>\lambda, g</math>）——筛选的核心依据就是前文定义的残差<math>\text{res}(\lambda, g)</math>，残差越小说明候选特征对越接近真实情况。
'''输入：'''系统变量的初始状态<math>\{x^{(j)}\}_{j=1}^M</math>、系统变量的下一时刻状态<math>\{y^{(j)}=F(x^{(j)})\}_{j=1}^M</math>、每个点对应的权重<math>\{w_j\}_{j=1}^M</math>、字典函数<math>\{\psi_j\}_{j=1}^{N}</math>（具体使用中，可用观测函数）、判定是否是真特征值的阈值<math>\epsilon>0</math>
'''输入：'''系统变量的初始状态<math>\{x^{(j)}\}_{j=1}^M</math>、系统变量的下一时刻状态<math>\{y^{(j)}=F(x^{(j)})\}_{j=1}^M</math>、每个点对应的权重<math>\{w_j\}_{j=1}^M</math>、字典函数<math>\{\psi_j\}_{j=1}^{N}</math>（具体使用中，可用观测函数）、判定是否是真特征值的阈值<math>\epsilon>0</math>