842
个编辑
更改
→残差DMD
# 丢弃残差大于<math>\epsilon</math>的[[伪特征值]]，保留满足精度的有效[[特征值]]。
# 丢弃残差大于<math>\epsilon</math>的[[伪特征值]]，保留满足精度的有效[[特征值]]。
'''输出：'''残差小于阈值的<math>\epsilon</math>-伪谱<math>\{(\lambda_j, g_j) \mid res(\lambda_j, g_j) \leq \epsilon\}</math>
'''输出：'''残差小于阈值的<math>\epsilon</math>-伪谱<math>\{(\lambda_j, \varphi_j) \mid res(\lambda_j, \varphi_j) \leq \epsilon\}</math>
'''定义（观测函数字典）：'''给定一组观测函数字典<math>\{\psi_1, \dots, \psi_{N}\} \subset \mathcal{G}(\mathcal{X}) </math>(如前文，<math>\mathcal{G}(\mathcal{X}) </math>为<math>\mathcal{K}</math>的定义域），比如<math>x^2, \cos(x), e^x...</math>，可以看作是构建Koopman不变子空间的一组基函数。子空间可以写作<math>V_{N} = \text{span}\{\psi_1, \dots, \psi_{N}\}</math>。我们的目标是在该子空间上近似Koopman算子<math>\mathcal{K}</math>的作用。
'''定义（观测函数字典）：'''给定一组观测函数字典<math>\{\psi_1, \dots, \psi_{N}\} \subset \mathcal{G}(\mathcal{X}) </math>(如前文，<math>\mathcal{G}(\mathcal{X}) </math>为<math>\mathcal{K}</math>的定义域），比如<math>x^2, \cos(x), e^x...</math>，可以看作是构建Koopman不变子空间的一组基函数。子空间可以写作<math>V_{N} = \text{span}\{\psi_1, \dots, \psi_{N}\}</math>。我们的目标是在该子空间上近似Koopman算子<math>\mathcal{K}</math>的作用。
其中 <math>\text{cl}</math> 表示[[集合]]的闭包。该定义刻画了对于任意给定的精度 <math>\epsilon</math>，能够以小于 <math>\epsilon</math> 的残差近似满足[[特征值]]方程的标量 <math>\lambda</math> 的[[集合]]。<math>\epsilon</math>反应的就是观测空间偏离不变子空间的程度。如果<math>\epsilon=0</math>，那么伪谱中所有的特征值一定都是真实的特征值。
其中 <math>\text{cl}</math> 表示[[集合]]的闭包。该定义刻画了对于任意给定的精度 <math>\epsilon</math>，能够以小于 <math>\epsilon</math> 的残差近似满足[[特征值]]方程的标量 <math>\lambda</math> 的[[集合]]。<math>\epsilon</math>反应的就是观测空间偏离不变子空间的程度。如果<math>\epsilon=0</math>，那么伪谱中所有的特征值一定都是真实的特征值。
之所以会
之所以出现
之所以
:<math>[\mathcal{K}\psi_j](\boldsymbol{x}) = \psi_j(F(\boldsymbol{x})) \approx \sum_{i=1}^{N} K_{ij} \psi_i(\boldsymbol{x}), \quad 1 \leq j \leq N.</math>
:<math>[\mathcal{K}\psi_j](\boldsymbol{x}) = \psi_j(F(\boldsymbol{x})) \approx \sum_{i=1}^{N} K_{ij} \psi_i(\boldsymbol{x}), \quad 1 \leq j \leq N.</math>