| 第449行： |
第449行： |
| | 其中 <math>\text{cl}</math> 表示[[集合]]的闭包。该定义刻画了对于任意给定的精度 <math>\epsilon</math>，能够以小于 <math>\epsilon</math> 的残差近似满足[[特征值]]方程的标量 <math>\lambda</math> 的[[集合]]。<math>\epsilon</math>反应的就是观测空间偏离不变子空间的程度。如果<math>\epsilon=0</math>，那么伪谱中所有的特征值一定都是真实的特征值。 | | 其中 <math>\text{cl}</math> 表示[[集合]]的闭包。该定义刻画了对于任意给定的精度 <math>\epsilon</math>，能够以小于 <math>\epsilon</math> 的残差近似满足[[特征值]]方程的标量 <math>\lambda</math> 的[[集合]]。<math>\epsilon</math>反应的就是观测空间偏离不变子空间的程度。如果<math>\epsilon=0</math>，那么伪谱中所有的特征值一定都是真实的特征值。 |
| | | | |
| − | 之所以会
| + | 之所以会出现虚假的特征值，来源就在于当我们估计Koopman矩阵时，迭代矩阵所描述的动力学不满足Koopman不变子空间的要求，从而与算子表述的动力学产生了偏差。数学表达式如下， |
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| − | 之所以出现
| + | :<math>[\mathcal{K}g](\boldsymbol{x}) = \Psi(F(\boldsymbol{x})) \boldsymbol{g} \approx \Psi(\boldsymbol{x}) (K \boldsymbol{g}).</math> |
| − | 之所以
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| − | :<math>[\mathcal{K}\psi_j](\boldsymbol{x}) = \psi_j(F(\boldsymbol{x})) \approx \sum_{i=1}^{N} K_{ij} \psi_i(\boldsymbol{x}), \quad 1 \leq j \leq N.</math>
| + | 这里的近似表达式对应的偏差便描述为 |
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| − | 式中，<math>V_{N} = \text{span}\{\psi_1, \dots, \psi_{N}\}</math>是子空间，<math>\{\psi_1, \dots, \psi_{N}\} \subset \mathcal{G}(\mathcal{X}) </math>是一组观测函数字典，<math>\mathcal{K}</math>的定义域。我们的目标是在该子空间上近似Koopman算子<math>\mathcal{K}</math>的作用。子空间<math>V_{N}</math>中的任意观测函数<math>g</math>可表示为字典函数的线性组合，即<math>g(\boldsymbol{x}) = \sum_{j=1}^{N} \psi_j(\boldsymbol{x}) g_j = \Psi(\boldsymbol{x}) \boldsymbol{g}</math>，其中<math>\boldsymbol{g} \in \mathbb{C}^{N}</math>为系数[[向量]]。所以，我们可以把Koopman算子<math>\mathcal{K}</math>对任意观测函数<math>g</math>的作用拆分成两部分：一部分精确对应着Koopman算子原始的定义，另一部分是在子空间<math>V_{N}</math>上近似Koopman算子的误差大小（残差）<math>r(g, \boldsymbol{x})</math>，即为：
| + | :<math>r(g, \boldsymbol{x}) = \sum_{j=1}^{N} \psi_j(F(\boldsymbol{x})) g_j - \Psi(\boldsymbol{x}) (K \boldsymbol{g}).</math> |
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| − | :<math>[\mathcal{K}g](\boldsymbol{x}) = \Psi(F(\boldsymbol{x})) \boldsymbol{g} = \Psi(\boldsymbol{x}) (K \boldsymbol{g}) + \underbrace{\sum_{j=1}^{N} \psi_j(F(\boldsymbol{x})) g_j - \Psi(\boldsymbol{x}) (K \boldsymbol{g})}_{r(g, \boldsymbol{x})}.</math>
| + | 通过最小化这里的残差，我们可以得到关于最优Koopman矩阵的解析解， |
| | | | |
| − | 如果残差项为0，说明我们完美地用一个[[线性系统]]重构出了原本的[[非线性系统]]。通常情况下，<math>V_{N}</math>不是<math> \mathcal{K} </math>的不变子空间，因此不存在能使<math>\displaystyle{ r(g, \boldsymbol{x}) }</math>对所有<math>\displaystyle{ g \in V_{N} }</math>和<math>\boldsymbol{x} \in \mathcal{X}</math>均为零的<math>\displaystyle{ K }</math>。
| + | :<math>\displaystyle{ K = (\Psi_X^* W \Psi_X)^\dagger (\Psi_X^* W \Psi_Y) }</math> |
| | + | |
| | + | 其中 “<math>\displaystyle{ \dagger }</math>” 表示[[伪逆]]。 |
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| − | 故，我们的核心任务就变成了找到一个最优的矩阵<math>K</math>，让这个残差项的整体误差最小。为了在在系统整个定义域上[[量化]]整体误差，我们要让残差项在定义域上求积分。不过由于实际计算中[[状态空间]]连续，无法遍历所有状态，无法直接对积分进行计算，因此我们需要用加权求和的方式近似积分：以<math>\displaystyle{ \{x_j\}_{j=1}^M }</math>为[[节点]]，<math>\boldsymbol{y}^{(j)} = F(\boldsymbol{x}^{(j)}) </math>，<math>\displaystyle{ \{w_j\}_{j=1}^M }</math>为权重，<math>M </math>为[[初始条件]]数量。通过这种方式，把连续的积分转化为离散的加权和，原来的优化问题就变成了更容易计算的'''[[加权最小二乘问题]]'''：
| + | 将 |
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| − | :<math>\arg\min_{K'\in\mathbb{C}^{N \times N}} \sum_{j=1}^{M} w_j \|\Psi(y^{(j)}) - \Psi(x^{(j)})K'\|_{\ell_2}^2</math>
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| | | | |
| | 该问题的[[解析解]]就是我们要找的最优近似矩阵<math>K</math>，即： | | 该问题的[[解析解]]就是我们要找的最优近似矩阵<math>K</math>，即： |
| | | | |
| − | :<math>\displaystyle{ K = (\Psi_X^* W \Psi_X)^\dagger (\Psi_X^* W \Psi_Y) }</math>
| + | ，<math>\displaystyle{ W = \text{diag}(w_1, \dots, w_M) }</math>（对角权重矩阵），<math>\displaystyle{ \Psi_X }</math>和<math>\displaystyle{ \Psi_Y }</math>是把所有节点的特征映射向量堆叠起来形成的矩阵——简单说就是“每个行对应一个节点，每个列对应一个观测函数”，具体形式为： |
| − | | |
| − | 其中 “<math>\displaystyle{ \dagger }</math>” 表示[[伪逆]]，<math>\displaystyle{ W = \text{diag}(w_1, \dots, w_M) }</math>（对角权重矩阵），<math>\displaystyle{ \Psi_X }</math>和<math>\displaystyle{ \Psi_Y }</math>是把所有节点的特征映射向量堆叠起来形成的矩阵——简单说就是“每个行对应一个节点，每个列对应一个观测函数”，具体形式为：
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| | | | |
| | <math>\displaystyle{ \Psi_X = \begin{pmatrix} \Psi(\boldsymbol{x}^{(1)}) \\ \vdots \\ \Psi(\boldsymbol{x}^{(M)}) \end{pmatrix}, \quad \Psi_Y = \begin{pmatrix} \Psi(\boldsymbol{y}^{(1)}) \\ \vdots \\ \Psi(\boldsymbol{y}^{(M)}) \end{pmatrix} }</math> | | <math>\displaystyle{ \Psi_X = \begin{pmatrix} \Psi(\boldsymbol{x}^{(1)}) \\ \vdots \\ \Psi(\boldsymbol{x}^{(M)}) \end{pmatrix}, \quad \Psi_Y = \begin{pmatrix} \Psi(\boldsymbol{y}^{(1)}) \\ \vdots \\ \Psi(\boldsymbol{y}^{(M)}) \end{pmatrix} }</math> |