更改

:<math>\displaystyle{ K = (\Psi_X^* W \Psi_X)^\dagger (\Psi_X^* W \Psi_Y) }</math>

:<math>\displaystyle{ K = (\Psi_X^* W \Psi_X)^\dagger (\Psi_X^* W \Psi_Y) }</math>

其中 “<math>\displaystyle{ \dagger }</math>” 表示[[伪逆]]。

其中 “<math>\displaystyle{ \dagger }</math>” 表示[[伪逆]]。将这里的Koopman矩阵的表达式带入到伪特征值的定义当中，经过一系列的推导，我们便可以得到伪特征值残差的表达式。给定<math>\displaystyle{ \mathcal{K} }</math>的候选特征对为 <math>(\lambda, \varphi) </math>：

 

将这里的Koopman矩阵的表达式带入到伪特征值的定义当中，经过一系列的推导，我们便可以得到伪特征值残差的表达式。给定<math>\displaystyle{ \mathcal{K} }</math>的候选特征对为 <math>(\lambda, \varphi) </math>：

:<math>\text{res}(\lambda, \varphi)^2 = \frac{\sum_{j,k=1}^{N} \overline{\xi_j} \xi_k \left[ (\Psi_Y^* W \Psi_Y)_{jk} - \lambda (\Psi_Y^* W \Psi_X)_{jk} - \overline{\lambda} (\Psi_X^* W \Psi_Y)_{jk} + |\lambda|^2 (\Psi_X^* W \Psi_X)_{jk} \right]}{\sum_{j,k=1}^{N} \overline{\xi_j} \xi_k (\Psi_X^* W \Psi_X)_{jk}}.</math>

:<math>\text{res}(\lambda, \varphi)^2 = \frac{\sum_{j,k=1}^{N} \overline{\xi_j} \xi_k \left[ (\Psi_Y^* W \Psi_Y)_{jk} - \lambda (\Psi_Y^* W \Psi_X)_{jk} - \overline{\lambda} (\Psi_X^* W \Psi_Y)_{jk} + |\lambda|^2 (\Psi_X^* W \Psi_X)_{jk} \right]}{\sum_{j,k=1}^{N} \overline{\xi_j} \xi_k (\Psi_X^* W \Psi_X)_{jk}}.</math>

其中<math>\overline{\lambda}, \overline{\xi}</math>分别表示共轭的特征值和特征函数组合系数。

其中<math>\xi</math>表示特征函数在以字典函数为基底的空间上的组合系数。<math>\overline{\lambda}, \overline{\xi}</math>分别表示共轭的特征值和特征函数组合系数。

==核DMD==

==核DMD==