842
个编辑
更改
→残差DMD
# 计算三个核心矩阵：<math>\Psi_X^* W \Psi_X</math>、<math>\Psi_X^* W \Psi_Y</math>、<math>\Psi_Y^* W \Psi_Y</math>（<math>\Psi_X/\Psi_Y</math>为字典在<math>x/y</math>上的取值矩阵，<math>W</math>为权重对角矩阵）。
# 计算三个核心矩阵：<math>\Psi_X^* W \Psi_X</math>、<math>\Psi_X^* W \Psi_Y</math>、<math>\Psi_Y^* W \Psi_Y</math>（<math>\Psi_X/\Psi_Y</math>为字典在<math>x/y</math>上的取值矩阵，<math>W</math>为权重对角矩阵）。
# 求解广义[[特征值]]<math>(\Psi_X^* W \Psi_Y)\varphi = \lambda(\Psi_X^* W \Psi_X)\varphi</math>，得到候选[[特征值]]和[[特征函数]]。
# 求解广义[[特征值]]<math>(\Psi_X^* W \Psi_Y)\varphi = \lambda(\Psi_X^* W \Psi_X)\varphi</math>，得到候选[[特征值]]和[[特征函数]]。
# 计算每个候选[[特征值]]的残差<math>res(\lambda_j, \varphi_j)</math>。
# 计算每个候选[[特征值]]的残差<math>\text{res}(\lambda_j, \varphi_j)</math>。
# 丢弃残差大于<math>\epsilon</math>的[[伪特征值]]，保留满足精度的有效[[特征值]]。
# 丢弃残差大于<math>\epsilon</math>的[[伪特征值]]，保留满足精度的有效[[特征值]]。
'''输出：'''残差小于阈值的<math>\epsilon</math>-伪谱<math>\{(\lambda_j, \varphi_j) \mid res(\lambda_j, \varphi_j) \leq \epsilon\}</math>
'''输出：'''残差小于阈值的<math>\epsilon</math>-伪谱<math>\{(\lambda_j, \varphi_j) \mid res(\lambda_j, \varphi_j) \leq \epsilon\}</math>
下面
'''定义（观测函数字典）：'''一组观测函数字典<math>\{\psi_1, \dots, \psi_{N}\} \subset \mathcal{G}(\mathcal{X}) </math>(如前文，<math>\mathcal{G}(\mathcal{X}) </math>为<math>\mathcal{K}</math>的定义域），比如<math>x^2, \cos(x), e^x...</math>，可以看作是构建Koopman不变子空间的一组基函数。子空间可以写作<math>V_{N} = \text{span}\{\psi_1, \dots, \psi_{N}\}</math>。我们的目标是在该子空间上近似Koopman算子<math>\mathcal{K}</math>的作用。
'''定义（观测函数字典）：'''一组观测函数字典<math>\{\psi_1, \dots, \psi_{N}\} \subset \mathcal{G}(\mathcal{X}) </math>(如前文，<math>\mathcal{G}(\mathcal{X}) </math>为<math>\mathcal{K}</math>的定义域），比如<math>x^2, \cos(x), e^x...</math>，可以看作是构建Koopman不变子空间的一组基函数。子空间可以写作<math>V_{N} = \text{span}\{\psi_1, \dots, \psi_{N}\}</math>。我们的目标是在该子空间上近似Koopman算子<math>\mathcal{K}</math>的作用。