更改

当假设风险率 [math]\lambda[/math] 是一个常数时，上述微分方程的解为经典的指数形式：

当假设风险率 [math]\lambda[/math] 是一个常数时，上述微分方程的解为经典的指数形式：

:<math>

{{NumBlk|:|

<math>

N(t,T)=N(0,T)e^{-\lambda(T)t}

N(t,T)=N(0,T)e^{-\lambda(T)t}

</math>

</math>

这个方程表明，一个企业存活到时间[math]t[/math] 的概率随着时间呈指数衰减。论文的实证分析表明，指数分布能很好地拟合数据。

这个方程表明，一个企业存活到时间[math]t[/math] 的概率随着时间呈指数衰减。论文的实证分析表明，指数分布能很好地拟合数据。这里[math]\lambda(T)[/math]代表了死亡率，它是随企业年龄[math]T[/math]而变化的。

这里[math]\lambda(t)[/math]代表了死亡率，它是随企业年龄而变化的。下图显示，中国企业的死亡率随着年龄的增长呈曲线变化。例如，在30岁时，死亡率仅为[math]1.4 \%[/math]。类比生物学： 这种将死亡率视为年龄(t)函数[math]\lambda(t)[/math]的方法，以及观察到的年龄依赖性趋势，与生物学中研究物种寿命与年龄关系的建模思路是类似的。企业生长方程目前无法预测企业的死亡，但可猜想企业规模越大，平均寿命越长，死亡率越低。

下图显示的是中国企业的死亡率随着年龄的增长的变化曲线，即[math]\lambda(T)[/math]。

[[文件:中国企业的死亡.jpg|无|缩略图|400x400像素|中国企业的死亡率随年龄的增长而增加]]

[[文件:中国企业的死亡.jpg|无|缩略图|400x400像素|中国企业的死亡率随年龄的增长而增加的曲线，即[math]\lambda(T)[/math]]]

由于数据是在一个有限的观察窗口 T 内获取的，为了解决边界条件问题（即在窗口结束时，所有企业都被视为死亡），论文在上式基础上引入了一个修正项，即在上式中乘以[math]\frac{1-e^{-\lambda(T-t)}}{1-e^{-\lambda T}}[/math]。当观察窗口 T 远大于企业年龄 t 时，这个方程可以近似为常规的指数公式。基于这个模型，论文计算了企业的半衰期（[math]t_{1/2}[/math]），即一半的企业死亡所需的时间。可以计算得到半衰期的公式：

 

由于数据是在一个有限的观察窗口 T 内获取的，为了解决边界条件问题（即在窗口结束时，所有企业都被视为死亡），论文在({{EquationNote|15}})式基础上引入了一个修正项，即乘以[math]\frac{1-e^{-\lambda(T-t)}}{1-e^{-\lambda T}}[/math]。当观察窗口 T 远大于企业年龄 t 时，这个方程可以近似为常规的指数公式。基于这个模型，论文计算了企业的半衰期（[math]t_{1/2}[/math]），即一半的企业死亡所需的时间。可以计算得到半衰期的公式：

:<math>

:<math>

t_{1/2}(T)=\frac{\ln~2}{\lambda}[1-\frac{\ln(1+e^{-\lambda T})}{\ln~2}]

t_{1/2}(T)=\frac{\ln~2}{\lambda}[1-\frac{\ln(1+e^{-\lambda T})}{\ln~2}]