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→Banavar最优网络模型
如上图所示，Banavar等人将生物体建模为一个[math]D[/math]维空间中均匀分布的单一源的输运网络。
如上图所示，Banavar等人将生物体建模为一个[math]D[/math]维空间中均匀分布的单一源的输运网络。
网络中每个节点为生物体内的一个抽象的代谢单元（例如一个需要新陈代谢的单个细胞或血管网络的分叉节点），连边对应为链接这些单元的输运关系，连边上的权重对应为流量的大小。网络中有一个唯一的源节点（图中编号为0的节点），这代表了能量或物质流的流入（例如心脏或根）。模型假设上亿年的进化已经让生物体内的输运网络变得输运效率是一种最优的结果，而这种最优的输运网络恰恰可以导出代谢率与生物量尺寸之间的3/4幂律关系。
因此，Banavar模型将[[克莱伯定律]]的起源问题转化为一个数学上的最优化问题。它首先定义输运网络的优化目标为总输运成本：
因此，Banavar模型将[[克莱伯定律]]的起源问题转化为一个数学上的最优化问题。它首先定义输运网络的优化目标为总输运成本：
* 优化目标：总输运成本[math]C=\sum_{ij}f_{ij}[/math]，这里[math]f_{ij}[/math]为任意i到j的连边的流量。
* 优化目标：总输运成本[math]C=\sum_{ij}f_{ij}[/math]，这里[math]f_{ij}[/math]为任意i到j的连边的流量，[math]C[/math]越小网络效率越高。
同时，整个网络需要受到下面的一系列约束：
同时，整个网络需要受到下面的一系列约束：
# Banavar模型假设每个代谢单元的单位时间内的能量消耗为常数1单位,即第[math]i[/math]个节点的耗散流（即i到环境的流量）[math]D_i=1[/math]；
# 每个代谢单元的单位时间内的能量消耗为常数1单位,即第[math]i[/math]个节点的耗散流（即i到环境的流量）[math]D_i=1[/math]；
# Banavar模型假设整个网络处于流量平衡的稳态（即所有节点的入流都必须等于出流），即对于任意节点[math]i[/math]，有[math]\sum_{k}f_{ki}=\sum_{j}f_{ij}+D_i[/math]，这里[math]f_{ij}[/math]代表从i到j的流量；
# 整个网络处于流量平衡的稳态（即所有节点的入流都必须等于出流），即对于任意节点[math]i[/math]，有[math]\sum_{k}f_{ki}=\sum_{j}f_{ij}+D_i[/math]，这里[math]f_{ij}[/math]代表从i到j的流量；
# 网络的连接必须是局部的；
# 网络的连接必须是局部的；
# 节点的分布在[math]D[/math]维空间必须是均匀的；
# 节点的分布在[math]D[/math]维空间必须是均匀的；
# 源节点是一个特殊的节点，它承载了所有的从环境输入的流量。
# 源节点是一个特殊的节点，它承载了所有的从环境输入的流量。
在这样的约束条件下，显然不同的网络连接结构就会对应不同的网络输运成本[math]C[/math]，如上图a或b；有的网络输运成本越低（如图c），有的则成本很高（如图d）。
在这样的约束条件下，显然不同的网络连接结构就会对应不同的网络输运成本[math]C[/math]，如上图a或b；有的网络输运成本低（如图c），有的则成本很高（如图d）。
Banavar定义了一个重要的中间变量，可以帮我们计算任意网络的输运效率，即[math]L_X[/math]即任意节点到源的距离。上图中所有节点中间的数字即为该节点的[math]L_X[/math]。Banavar等人证明，所有节点上的[math]L_X[/math]之和即为该网络的总输运成本。对于D维空间中的运输网络，他们证明了一个关键定理：[math]\displaystyle{ C \geq L^{D+1} }[/math]。最优网络结构如图c所示，成本最高的网络如图d所示。
Banavar定义了一个重要的中间变量，可以帮我们计算任意网络的输运效率，即[math]L_X[/math]：任意节点到源的网络距离。上图中所有节点中间的数字即为该节点的[math]L_X[/math]。Banavar等人证明，所有节点上的[math]L_X[/math]之和即为该网络的总输运成本。对于D维空间中的网络，他们证明了一个关键定理：[math]\displaystyle{ C \geq L^{D+1} }[/math]，这里[math]L=\frac{\sum_X L_X}{N}[/math]，[math]N[/math]为节点总数。因此，最优的输运网络正比于每个节点到源的平均距离的[math]D+1[/math]次幂，这种最优网络结构如图c所示，相反，他们也找到了一种最高成本的网络，输运成本为[math]C\propto L^{1/2}[/math]，这种成本最高的网络如图d所示。
最后，Banavar等人将网络的整体指标对应到生物体的新陈代谢和体重上。具体地：
最后，Banavar等人将网络的整体指标对应到生物体的新陈代谢和体重上。具体地：
# 生物体的新陈代谢[math]F[/math]正比于从源流入的总量，也正比于所有节点的节点数（由于每个节点的耗散为1单位，而且流量平衡），也正比于这些节点占据的[math]D[/math]维空间中的体积（因为节点均匀分布）。因此，我们可以得到[math]F\propto L^D[/math]，这里[math]L=\frac{\sum_X L_X}{N}[/math]，[math]N[/math]为节点总数。
# 生物体的新陈代谢[math]F[/math]正比于从源流入的总量，也正比于节点总数[math]N[/math],（由于每个节点的耗散为1单位，而且流量平衡），也正比于这些节点占据的[math]D[/math]维空间中的体积（因为节点均匀分布）。因此，我们可以得到[math]F\propto L^D[/math]。
# 生物体的体重规模[math]M[/math]正比于总输运成本[math]C[/math]，在最低的情况下，可以达到[math]C\propto L^{D+1}[/math]（由文中定理）。
# 生物体的体重规模[math]M[/math]正比于总输运成本[math]C[/math]，在最优的情况下，它可以达到[math]C\propto L^{D+1}[/math]（由文中定理）。
因此，我们可以得到，对于最优的输运网络，我们有[math]F\propto M^{D/(D+1)}[/math]，如果取[math]D=3[/math]，我们便解释了[[克莱伯定律]]的起源。
因此，我们可以得到，对于最优的输运网络，我们有[math]F\propto M^{D/(D+1)}[/math]，如果取[math]D=3[/math]，我们便解释了[[克莱伯定律]]的起源。
不仅如此，他们的理论还预测，该模型同样适用于河流流域的排水网络。对于有效流域的排水盆地（drainage basin），每个节点的流入流量正比于该节点为根的子树的面积[math]A_i[/math]，总的输运成本正比于该子树上所有流入流量的总和，即[math]C_i=\sum_{j\in T_i}A_j[/math]，这里[math]T_i[/math]代表以i为根的子树的节点集合。于是，我们可以得到[math]A_i[/math]与[math]C_i[/math]的幂律关系，且幂指数为2/3（这是因为[math]D=2[/math]）。
尽管该模型与WBE相比，在具体细节上变化很大，但内置于高效运输网络中最优效率却为不同的[[流网络]]系统提供了统一的解释框架。他们分析显示基本结果不需要关于网络分层性质的任何假设，也不一定需要树状结构。然而，树的存在会大大缩短网络的总长度，从而增加其可行性和效率。
尽管该模型与WBE相比，在具体细节上变化很大，但内置于高效运输网络中最优效率却为不同的[[流网络]]系统提供了统一的解释框架。他们的分析显示基本结果不需要关于网络分层性质的任何假设，也不一定需要树状结构。然而，树的存在会大大缩短网络的总长度，从而增加其可行性和效率。
====Dreyer模型====
====Dreyer模型====