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第120行： − ==应用== − − （生物系统、化学振荡、工程振荡器等） + − 当所有相邻轨迹在时间趋于无穷大时都接近极限环时，称之为“稳定”或“吸引”极限环（ω- 极限环）。当时间趋近于负无穷时，若所有相邻轨线都逼近它，则它是一个不稳定的极限环（α- 极限环）。如果存在一个相邻轨迹，当时间趋于无穷大时螺旋进入极限环，另一个轨迹在时间趋于负无穷大时螺旋进入极限环，那么它是一个半稳定的极限环。还有一些既不稳定、不稳定也不半稳定的极限环 例如，邻近轨迹可能从外部接近极限环，但极限环的内部是由一组其他的极限环逼近的（不是极限环）。+ + − 稳定极限环是'''<font color="#ff8000">吸引子 Attractor</font>'''的例子。它们意味着自我维持的'''<font color="#ff8000">振荡 Oscillation</font>'''：闭合轨迹描述了系统的完美周期行为，任何来自这个闭合轨迹的微小扰动都会导致系统返回到它，使系统保持极限环。 + − ==寻找极限环==+ − 每一个闭合轨迹在其内部都包含一个系统的'''<font color="#ff8000">驻点 Stationary Point</font>'''，即点<math>p</math>当有<math>V(p)=0</math>.'''<font color="#ff8000">本迪克森-杜拉克定理 Bendixson–Dulac theorem</font>'''和'''<font color="#ff8000">庞加莱-本迪克森定理 Poincaré–Bendixson theorem </font>'''分别预言了二维非线性动力系统极限环的缺失或存在。+ − + − 一般来说，寻找极限环是一个非常困难的问题。平面上一个多项式微分方程的极限环的个数是'''<font color="#ff8000">希尔伯特第十六题 Hilbert's sixteenth problem</font>'''第二部分的主要对象。例如，在平面上是否存在一个系统<math>x'=V(x)</math>，其中<math>V</math>的两个组成部分都是两个变量的二次多项式，这样的系统有多于4个极限环。 + − == 应用 ==+ − [[File:Hopfbifurcation.png|thumb|400px|'''<font color="#ff8000">霍普夫分岔 Hopf bifurcation</font>'''附近不动点分支的极限环例子。红色的轨迹，深蓝色的稳定结构，浅蓝色的不稳定结构。参数的选择决定了极限环的出现和稳定性。]] − 科学应用中许多自持振荡系统的仿真里，极限环具有重要意义。一些例子包括:+ − + − + − + − + − + − * 一些非线性电路表现出极限环振荡<ref>{{Cite journal|last=Ginoux|first=Jean-Marc|last2=Letellier|first2=Christophe|date=2012-04-30|title=Van der Pol and the history of relaxation oscillations: Toward the emergence of a concept|journal=Chaos: An Interdisciplinary Journal of Nonlinear Science|volume=22|issue=2|pages=023120|doi=10.1063/1.3670008|pmid=22757527|issn=1054-1500|arxiv=1408.4890|bibcode=2012Chaos..22b3120G}}</ref>，这启发了最初的'''<font color="#ff8000">范德波尔模型 Van der Pol model</font>'''。 − + − + + − + − − ==参考文献== − {{Reflist}} − − − − ==进一步阅读== − * {{cite book |author=Steven H. Strogatz |title=Nonlinear Dynamics and Chaos: With Applications to Physics, Biology, Chemistry, and Engineering |publisher=Avalon |date=2014 |isbn=9780813349114}} − − * {{cite book |author=M. Vidyasagar |title=Nonlinear Systems Analysis |edition=Second |publisher=SIAM |date=2002 |isbn=9780898715262}} − * Philip Hartman, "Ordinary Differential Equation", Society for Industrial and Applied Mathematics, 2002. − * Witold Hurewicz, "Lectures on Ordinary Differential Equations", Dover, 2002.+ − * Solomon Lefschetz, "Differential Equations: Geometric Theory", Dover, 2005.+ − * Lawrence Perko, "Differential Equations and Dynamical Systems", Springer-Verlag, 2006. − * Arthur Mattuck, Limit Cycles: Existence and Non-existence Criteria, MIT Open Courseware http://videolectures.net/mit1803s06_mattuck_lec32/#+ + + − ==其他链接==+ − + + − == 编者推荐 ==+ − ===集智文章推荐=== − ====[https://swarma.org/?p=21986 什么是非线性系统 | 集智百科]====+ − 描述变量随时间变化的非线性动力系统与较之简单得多的线性系统相比，可能显得混沌、不可预测或违反直觉。 − <br/> − ----+ − 本中文词条由[[用户:小竹凉|小竹凉]]翻译，[[用户:WildBoar|WildBoar]]，[[用户:薄荷|薄荷]]欢迎在讨论页面留言。 − '''本词条内容源自公开资料，遵守 CC3.0协议。'''+
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== 极限环的排除方法==
== 极限环的排除方法==
===梯度系统（Gradient systems）===
===梯度系统（Gradient systems）===
===李雅普诺夫函数（Lyapunov functions）===
===李雅普诺夫函数（Lyapunov functions）===
===李纳定理（Liénard theorem）===
===李纳定理（Liénard theorem）===
每一个闭合轨迹在其内部都包含一个系统的'''<font color="#ff8000">驻点 Stationary Point</font>'''，即点<math>p</math>当有<math>V(p)=0</math>.'''<font color="#ff8000">本迪克森-杜拉克定理 Bendixson–Dulac theorem</font>'''和'''<font color="#ff8000">庞加莱-本迪克森定理 Poincaré–Bendixson theorem </font>'''分别预言了二维非线性动力系统极限环的缺失或存在。
==极限环的近似定量分析==
==极限环的近似定量分析==
===松弛振荡===
===松弛振荡===
===摄动与平均法===
===摄动与平均法===
==稳定、不稳定和半稳定极限环==
==稳定、不稳定和半稳定极限环==
当所有相邻轨迹在时间趋于无穷大时都接近极限环时，称之为稳定或吸引极限环（ω-极限环）。当时间趋近于负无穷时，若所有相邻轨线都逼近它，则它是不稳定的极限环（α-极限环）。如果存在一个相邻轨迹在时间趋于无穷大时螺旋进入极限环，而另一个轨迹在时间趋于负无穷大时螺旋进入极限环，则称其为半稳定极限环。
此外，还存在既不稳定也不不稳定亦不半稳定的情形，例如：邻近轨迹可能从外部接近极限环，而极限环内部由一族其他闭轨道逼近（这些轨道本身不是极限环）。
稳定极限环是吸引子（attractor）的一个例子。它对应于自我维持的振荡（oscillation）：闭轨道描述了系统的周期行为，而任何偏离该轨道的微小扰动都会使系统重新回到该极限环上。
== 待解决的问题 ==
一般来说，寻找极限环是一个非常困难的问题。平面上一个多项式微分方程的极限环个数问题是希尔伯特第十六题（Hilbert's sixteenth problem）第二部分的主要研究对象。
例如，在平面上是否存在一个系统 <math>x' = V(x)</math>，其中 <math>V</math> 的两个分量都是二次多项式，使得该系统具有超过四个极限环。
==待解决的问题==
== 应用 ==
[[File:Hopfbifurcation.png|thumb|400px|霍普夫分岔（Hopf bifurcation）附近不动点分支的极限环例子。红色轨迹表示解轨道，深蓝色表示稳定结构，浅蓝色表示不稳定结构。参数的变化决定极限环的出现及其稳定性。]]
科学应用中许多自持振荡系统的仿真中，极限环具有重要意义。一些典型例子包括：
* 空气动力学中的极限环振荡<ref>Thomas, Jeffrey P.; Dowell, Earl H.; Hall, Kenneth C. (2002). "Nonlinear Inviscid Aerodynamic Effects on Transonic Divergence, Flutter, and Limit-Cycle Oscillations". AIAA Journal, 40(4): 638. DOI: 10.2514/2.1720.</ref>
* 空气动力学极限环振荡<ref>{{citation | last =Thomas| first =Jeffrey P.| last2 =Dowell| first2 =Earl H.| last3 =Hall| first3 =Kenneth C.| title =Nonlinear Inviscid Aerodynamic Effects on Transonic Divergence, Flutter, and Limit-Cycle Oscillations| journal =AIAA Journal| volume =40| issue =4| pages =638| publisher =American Institute of Aeronautics and Astronautics| url=https://mems.duke.edu/files/mems/thomas/downloads/hblco.pdf| access-date = December 9, 2019 | bibcode =2002AIAAJ..40..638T| year =2002| doi =10.2514/2.1720}}</ref>
* 神经元动作电位的霍奇金–赫胥黎模型（Hodgkin–Huxley model）
* 神经元动作电位的'''<font color="#ff8000">霍奇金-赫胥黎模型 Hodgkin–Huxley model</font>'''。
* 糖酵解过程中的塞尔科夫模型（Sel'kov model）<ref>Sel'kov, E. E. (1968). "Self-Oscillations in Glycolysis 1. A Simple Kinetic Model". European Journal of Biochemistry, 4(1): 79–86. DOI: 10.1111/j.1432-1033.1968.tb00175.x.</ref>
* 糖酵解的'''塞尔科夫模型 Sel'kov model'''<ref>{{Cite journal|last=Sel'kov|first=E. E.|date=1968|title=Self-Oscillations in Glycolysis 1. A Simple Kinetic Model|journal=European Journal of Biochemistry|language=en|volume=4|issue=1|pages=79–86|doi=10.1111/j.1432-1033.1968.tb00175.x|pmid=4230812|issn=1432-1033}}</ref>。
* 动物基因表达、激素水平和体温的周期性变化，这些现象属于昼夜节律（circadian rhythm）的一部分<ref>Leloup, Jean-Christophe; Gonze, Didier; Goldbeter, Albert (1999). "Limit Cycle Models for Circadian Rhythms Based on Transcriptional Regulation in Drosophila and Neurospora". Journal of Biological Rhythms, 14(6): 433–448. DOI: 10.1177/074873099129000948.</ref><ref>Roenneberg, Till et al. (2008). "Modelling Biological Rhythms". Current Biology, 18(17): R826–R835. DOI: 10.1016/j.cub.2008.07.017.</ref>
* 动物基因表达、激素水平和体温的日常变化，这些都是'''<font color="#ff8000">昼夜节律 circadian rhythm</font>'''的一部分<ref>{{Cite journal|last=Leloup|first=Jean-Christophe|last2=Gonze|first2=Didier|last3=Goldbeter|first3=Albert|date=1999-12-01|title=Limit Cycle Models for Circadian Rhythms Based on Transcriptional Regulation in Drosophila and Neurospora|journal=Journal of Biological Rhythms|language=en|volume=14|issue=6|pages=433–448|doi=10.1177/074873099129000948|pmid=10643740|issn=0748-7304}}</ref><ref>{{Cite journal|last=Roenneberg|first=Till|last2=Chua|first2=Elaine Jane|last3=Bernardo|first3=Ric|last4=Mendoza|first4=Eduardo|date=2008-09-09|title=Modelling Biological Rhythms|journal=Current Biology|volume=18|issue=17|pages=R826–R835|doi=10.1016/j.cub.2008.07.017|pmid=18786388|issn=0960-9822}}</ref>。
* 癌细胞在局限微环境中的迁移过程可表现出极限环振荡<ref>Brückner, David B. et al. (2019). "Stochastic nonlinear dynamics of confined cell migration in two-state systems". Nature Physics, 15(6): 595–601. DOI: 10.1038/s41567-019-0445-4.</ref>
* 癌细胞在局限微环境中的迁移遵循极限环振荡<ref>{{Cite journal|last=Brückner|first=David B.|last2=Fink|first2=Alexandra|last3=Schreiber|first3=Christoph|last4=Röttgermann|first4=Peter J. F.|last5=Rädler|first5=Joachim|last6=Broedersz|first6=Chase P.|date=2019|title=Stochastic nonlinear dynamics of confined cell migration in two-state systems|journal=Nature Physics|language=en|volume=15|issue=6|pages=595–601|doi=10.1038/s41567-019-0445-4|issn=1745-2481|bibcode=2019NatPh..15..595B}}</ref> 。
* 一些非线性电路系统表现出极限环振荡<ref>Ginoux, Jean-Marc; Letellier, Christophe (2012). "Van der Pol and the history of relaxation oscillations: Toward the emergence of a concept". Chaos, 22(2): 023120. DOI: 10.1063/1.3670008.</ref>，这启发了范德波尔模型（Van der Pol model）
== 另见 ==
== 另见 ==
* [[双曲集 Hyperbolic set]]
* [[周期点 Periodic point]]
* [[双曲集 Hyperbolic set]]
* [[周期点 Periodic point]]
* [[自我振荡 Self-oscillation]]
* [[自我振荡 Self-oscillation]]
* [[ 稳定流型 Stable manifold]]
* [[稳定流形 Stable manifold]]
== 参考文献 ==
<references/>
== 进一步阅读 ==
* Strogatz, Steven H. (2014). ''Nonlinear Dynamics and Chaos: With Applications to Physics, Biology, Chemistry, and Engineering''. Avalon Publishing. ISBN 9780813349114.
* Vidyasagar, M. (2002). ''Nonlinear Systems Analysis'' (2nd ed.). SIAM. ISBN 9780898715262.
* Hartman, Philip (2002). ''Ordinary Differential Equations''. SIAM.
* {{cite web |url=https://planetmath.org/limitcycle |website=planetmath.org |title=limit cycle |access-date=2019-07-06}}
* Hurewicz, Witold (2002). ''Lectures on Ordinary Differential Equations''. Dover.
* Lefschetz, Solomon (2005). ''Differential Equations: Geometric Theory''. Dover.
* Perko, Lawrence (2006). ''Differential Equations and Dynamical Systems''. Springer.
* Mattuck, Arthur. ''Limit Cycles: Existence and Non-existence Criteria''. MIT OpenCourseWare.
== 其他链接 ==
* {{cite web |url=https://planetmath.org/limitcycle |website=planetmath.org |title=Limit cycle |access-date=2019-07-06}}