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第405行：
第405行： − ∀a:~(a+1)=0+ − ∃a∀b∀c:~a=(b+2)×(c+2)+ 第415行：
第415行： − ∀a,b:(a+b)=(b+a)+ 第421行：
第421行： − ∀a,∃b:a+b=0+ − ∀a,∃b:~(a+b)=0+ + + + + + + + +
→哥德尔定理2
首先，我们需要简单介绍一下哥德尔定理的背景。哥德尔定理所讨论的对象是关于自然数的一套公理系统。此公理系统是由关于自然数性质的命题构成的（我们可以把这些命题简单地理解为一些合法的字符串）。例如：
首先，我们需要简单介绍一下哥德尔定理的背景。哥德尔定理所讨论的对象是关于自然数的一套公理系统。此公理系统是由关于自然数性质的命题构成的（我们可以把这些命题简单地理解为一些合法的字符串）。例如：
<math>\forall a:\sim (a+1)=0</math>
即对于任意的自然数a，a+1不为0；其中∀是任意量词，∀a就表示任意的自然数a。~表示非。再例如：
即对于任意的自然数a，a+1不为0；其中∀是任意量词，∀a就表示任意的自然数a。~表示非。再例如：
<math>\exists a \forall b \forall c:\sim a=(b+2) (c+2) </math>
存在着自然数a，使得对于任意给定的自然数b和c：a=(b+2)(c+2)都不成立，也就意味着存在着质数。从一组基本的语句出发（即公理，前面的第一个句子就是系统中的一个公理），按照既定的推理规则（字符串的替换规则）我们就能得到非常丰富的有关自然数的判断语句，我们称这些推导出的语句为定理。
存在着自然数a，使得对于任意给定的自然数b和c：a=(b+2)(c+2)都不成立，也就意味着存在着质数。从一组基本的语句出发（即公理，前面的第一个句子就是系统中的一个公理），按照既定的推理规则（字符串的替换规则）我们就能得到非常丰富的有关自然数的判断语句，我们称这些推导出的语句为定理。
例如下面的语句：
例如下面的语句：
<math> \forall a,b: (a+b)=(a+b)</math>
对于任意的自然数a和b，a+b=b+a都成立，就是可以从公理中推出的定理。
对于任意的自然数a和b，a+b=b+a都成立，就是可以从公理中推出的定理。
另外，我们对任意一个合法的字符串都赋予一个真值，来表示该字符串所表达的语句是否为一个真的关于自然数的命题。例如，命题：
另外，我们对任意一个合法的字符串都赋予一个真值，来表示该字符串所表达的语句是否为一个真的关于自然数的命题。例如，命题：
<math>\forall a,\exists b: a+b=0</math>
翻译成自然语言就是：“对于任意的自然数a，都存在着一个自然数b，使得a+b=0”。那么，我们知道这个命题就是假的，这是因为我们能够举出反例，当a=1的时候，就不会存在正整数b使得a+b=0成立。而对于命题：
翻译成自然语言就是：“对于任意的自然数a，都存在着一个自然数b，使得a+b=0”。那么，我们知道这个命题就是假的，这是因为我们能够举出反例，当a=1的时候，就不会存在正整数b使得a+b=0成立。而对于命题：
<math>\forall a, \exists b:\sim (a+b)=0</math>
就是一个真命题。所以，我们知道：'''所有的系统中的合法命题都可以分成真假两类'''。
我们称一个公理系统是'''一致的'''，是指命题A和~A（即非A）不会同时都是该系统中的定理。这也就意味着该公理系统不包含逻辑矛盾。我们称一个公理系统是'''完备的'''，是指任意的真的命题都是该系统中的定理，也就是所有的真命题都可以通过推导而产生出来。
我们当然希望能够构建出一个足够强有力的公理系统，使得它的内部既不包含不一致的逻辑矛盾，同时又可以包含所有的关于自然数的真的命题。但是，可惜的是，哥德尔定理告诉我们，'''对于任何足够强有力的公理系统来说，一致性和完备性不能同时被满足'''。
哥德尔是如何证明这个定理的呢？关键就在于哥德尔利用这个公理系统的基本语法构建了一个哥德尔句子：
就是一个真命题。所以，我们知道：'''所有的系统中的合法命题都可以分成真假两类'''。
就是一个真命题。所以，我们知道：'''所有的系统中的合法命题都可以分成真假两类'''。