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→哥德尔定理2
即对于任意的自然数a，a+1不为0；其中∀是任意量词，∀a就表示任意的自然数a。~表示非。再例如：
即对于任意的自然数a，a+1不为0；其中∀是任意量词，∀a就表示任意的自然数a。~表示非。再例如：
<math>\exists a \forall b \forall c:\sim a=(b+2) (c+2) </math>
<math>\exists a \forall b \forall c:\sim a=(b+2) (c+2) </math>
存在着自然数a，使得对于任意给定的自然数b和c：a=(b+2)(c+2)都不成立，也就意味着存在着质数。从一组基本的语句出发（即公理，前面的第一个句子就是系统中的一个公理），按照既定的推理规则（字符串的替换规则）我们就能得到非常丰富的有关自然数的判断语句，我们称这些推导出的语句为定理。
存在着自然数a，使得对于任意给定的自然数b和c：a=(b+2)(c+2)都不成立，也就意味着存在着质数。从一组基本的语句出发（即公理，前面的第一个句子就是系统中的一个公理），按照既定的推理规则（字符串的替换规则）我们就能得到非常丰富的有关自然数的判断语句，我们称这些推导出的语句为定理。
<math>\forall a, \exists b:\sim (a+b)=0</math>
<math>\forall a, \exists b:\sim (a+b)=0</math>
就是一个真命题。所以，我们知道：'''所有的系统中的合法命题都可以分成真假两类'''。
就是一个真命题。所以，我们知道：'''所有的系统中的合法命题都可以分成真假两类'''。
下面，我们就来看看哥德尔是如何构造出哥德尔语句G的。首先，哥德尔如何用谓词逻辑语句来表达出“是系统中的定理”这个性质的呢？
下面，我们就来看看哥德尔是如何构造出哥德尔语句G的。首先，哥德尔如何用谓词逻辑语句来表达出“是系统中的定理”这个性质的呢？
首先，我们可以将任意一个有关自然数陈述的命题编码成自然数（哥德尔配数）。例如“<math> \forall a, \exists b: \sim (a+b)=0 </math>”可以编码为11223......。
其次，任何一个由若干语句构成的推导过程也可以用更大的自然数来编码。例如，我们看两步推导：
其次，任何一个由若干语句构成的推导过程也可以用更大的自然数来编码。例如，我们看两步推导：
<math> \forall a,\exists b:\sim (a+b)=0 </math>
<math> \exists b:\sim b+3=0 </math>（将上一条语句中的任意变量a用特殊的数3来替换）
如果第一条语句的编码是11223，第二条语句的编码是23543，则这两步推导就可以表示成数字：11223023543，其中0为不同行之间的分隔符。所以自然数11223023543就唯一地表示出了一个两步的推导。
如果第一条语句的编码是11223，第二条语句的编码是23543，则这两步推导就可以表示成数字：11223023543，其中0为不同行之间的分隔符。所以自然数11223023543就唯一地表示出了一个两步的推导。
最后，我们可以用基本符号和运算构造一个命题函数（可计算函数）：<math> T(m,n) </math>，我只要把任何一个推导过程的编码<math>m</math>以及命题语句的编码<math>n</math>输入到该函数<math>T(m,n)</math>中，<math>T</math>就能够计算出该系统从公理出发，在经历了m所代表的推导过程之后就能够推导出n所代表的结论。这样，语句：
<math>\exists m:T(m,n) </math>
所表达的就是“n所对应的语句是该系统中的一个定理”。
所表达的就是“n所对应的语句是该系统中的一个定理”。
接下来，我们来看这个公理系统如何表达“我”这个关键的词语。哥德尔巧妙的构造了一个自然数函数<math>Q(n)</math>，<math>Q(n)</math>表达的是将<math>n</math>这个自然数代入到以<math>n</math>为编码的函数<math>N(x)</math>之中所得句子的哥德尔编号，也就是说<math>Q(n)=c(N,n)</math>，其中<math>c(N,n)</math>为句子<math>N(n)</math>的哥德尔编号。
例如，考虑一个语句：
例如，考虑一个语句：
<math> \sim (a+1)=0</math>
在该语句中a是一个不受任何量词约束的自由变元。假设这一公式的哥德尔编号为1199，那么将1199这个数字代入到原公式中（也就是让a=1199），就得到公式：
在该语句中a是一个不受任何量词约束的自由变元。假设这一公式的哥德尔编号为1199，那么将1199这个数字代入到原公式中（也就是让a=1199），就得到公式：
<math> \sim (1199+1)=0</math>
假设这个新公式的哥德尔编号为3445。因此我们定义当函数<math>Q</math>作用到1199这个数字上面的时候就得到3445，也就是<math>Q(1199)=3445</math>。注意，实际上这个<math>Q(x)</math>就是与上一小节中的蒯恩程序等价的蒯恩函数。
显然<math>Q</math>函数本身也有一个哥德尔编号，记为<math>q</math>，那么'''Q(q)就是“我”的表达了，这是因为经过Q函数计算得出的数字Q(q)恰恰就是Q(q)这个公式自己的哥德尔编号'''。（如果不能理解这一点，请参考第2节语言的自指）
这样，我们便可以把“我”和“不是定理”连接起来构成一个新句子：
这样，我们便可以把“我”和“不是定理”连接起来构成一个新句子：
<math>Q_о T(n)= \sim \exists m:T(m,Q(n))</math>
其中n为该句子中的自由变元。我们记该句子的哥德尔编号为：qоt，就可以得到哥德尔句子：
其中n为该句子中的自由变元。我们记该句子的哥德尔编号为：qоt，就可以得到哥德尔句子：
G=QоT(qоt)=“~m:T(m,Q(qоt))”
<math>G=Q_о T(q_о t)= \sim \exists m :T(m,Q(q_о t)) </math>
让我们来翻译一下这句话：不存在一个自然数m使得：<math>m</math>和<math>Q(q_о t)</math>构成证明对。也就是说<math>Q(q_о t)</math>不是系统中的定理。而<math>Q(q_о t)是什么呢？根据函数Q的定义，<math>Q(q_о t)</math>就是把<math>q_о t</math>这个数代入到<math>q_о t</math>所对应的语句中的自由变元之后得到的那个语句的哥德尔编码。而我们知道<math>q_о t</math>代入它自己<math>Q_о T(n)</math>，并替换自由变元<math>n</math>之后得到的那个数就是<math>G</math>自己的哥德尔编号，所以<math>G</math>也可以翻译为：
G=“G不是一个定理”或者，干脆翻译为：
G=“G不是一个定理”或者，干脆翻译为：