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第967行：
第967行： − 张江等人<ref name="reversibility"/> 提供了另一种基于奇异值分解的粗粒化方法，出发点与上述方法不同：它不以恢复某种预设的结构性划分为目标，而是直接以'''最大化宏观动力学的可逆性'''为优化方向。其核心物理图像是：将马尔科夫动力学看作一个通信信道，每个状态下的概率转移看作一条信息通路（information pathway）。当系统的 <math>N</math> 条通路中存在线性相关的行向量时，这些通路是冗余的——它们要么传递极少的信息（对应接近零的奇异值），要么可以被其他通路的线性组合表示。+ 第985行：
第985行： − 虽然该工作与前面Zhang & Wang的方法都做了SVD + kmeans的步骤，但是两者之间存在差异。 − # Zhang & Wang方法的 SVD 对象是 <math>V_F</math>，稳态流矩阵的右奇异向量，而动力学可逆性的SVD对象是 <math>V_P</math>，马尔科夫转移矩阵的右奇异向量。当 <math>P</math> 恰好是低秩的时，<math>V_F</math> 和 <math>V_P</math> 张成完全相同的子空间（因为 <math>F = \mathrm{diag}(\pi) P</math>，两者秩相同时列空间一致）。在近似低秩的情况下，<math>\mathrm{diag}(\pi)</math> 的不均匀缩放会使两者分离，此时两种方法可能给出不同的分组结果。 − # 另外，两者的目标不同。Zhang & Wang的工作目标是在粗粒化过程中尽量保持马尔科夫性（成块性）；而动力学可逆性工作的目标是在粗粒化过程中减少 TPM 中的信道冗余性。 + + + +
→最大化可逆性的谱分解方法
===最大化可逆性的谱分解方法===
===最大化可逆性的谱分解方法===
张江等人动力学可逆性的文章<ref name="reversibility"/>提供了另一种基于 SVD 的粗粒化方法。该工作出发点与与上面寻找成块划分的方法不同：它不以恢复某种预设的结构性划分为目标，而是直接以'''最大化宏观动力学的可逆性'''为优化方向。其核心物理图像是：将马尔科夫动力学看作一个通信信道，每个状态下的概率转移看作一条信息通路（information pathway）。当系统的 <math>N</math> 条通路中存在线性相关的行向量时，这些通路是冗余的——它们要么传递极少的信息（对应接近零的奇异值），要么可以被其他通路的线性组合表示。
通过 SVD 可以识别出 <math>r_\epsilon</math> 条"核心通路"，其余 <math>N - r_\epsilon</math> 条是可以消除的冗余通路。粗粒化就是把状态按照它们在核心通路上的表现进行归组，让宏观动力学只保留这些高效通道。其基本思想是将 <math>P</math> 中的行向量 <math>P_{i},\forall i \in [1,N]</math> 投影到 <math>P</math> 的几个较大奇异值对应的奇异向量所张成的子空间上，从而保留 <math>P</math> 的主要信息，并保持 <math>\Gamma</math> 不变。
通过 SVD 可以识别出 <math>r_\epsilon</math> 条"核心通路"，其余 <math>N - r_\epsilon</math> 条是可以消除的冗余通路。粗粒化就是把状态按照它们在核心通路上的表现进行归组，让宏观动力学只保留这些高效通道。其基本思想是将 <math>P</math> 中的行向量 <math>P_{i},\forall i \in [1,N]</math> 投影到 <math>P</math> 的几个较大奇异值对应的奇异向量所张成的子空间上，从而保留 <math>P</math> 的主要信息，并保持 <math>\Gamma</math> 不变。
最后用 <math>F' = \Phi^T F \Phi</math> 而非直接对 <math>P</math> 做行列聚合，可以保证粗粒化操作和时间演化算子具有可交换性，从而确保宏观动力学仍是合法的马尔科夫链。
最后用 <math>F' = \Phi^T F \Phi</math> 而非直接对 <math>P</math> 做行列聚合，可以保证粗粒化操作和时间演化算子具有可交换性，从而确保宏观动力学仍是合法的马尔科夫链。
虽然该工作与前面Zhang & Wang的方法都做了SVD + kmeans的步骤，但是两者之间存在差异：
# Zhang & Wang的工作目标是在粗粒化过程中尽量保持马尔科夫性，并恢复成块结构；而动力学可逆性工作的目标是在粗粒化过程中减少 TPM 中的信道冗余性。
# Zhang & Wang方法的 SVD 对象是 <math>V_F</math>，稳态流矩阵的右奇异向量，而动力学可逆性的SVD对象是 <math>V_P</math>，马尔科夫转移矩阵的右奇异向量。当 <math>P</math> 恰好是低秩的时，<math>V_F</math> 和 <math>V_P</math> 张成完全相同的子空间（因为 <math>F = \mathrm{diag}(\pi) P</math>，两者秩相同时列空间一致）。当 <math>P</math> 是近似低秩（满秩但有奇异值谱间隔）时，稳态分布 <math>\pi</math> 的加权效应会使两者产生差异：对 <math>F</math> 做 SVD 天然压低了低频状态的影响，而直接对 <math>P</math> 做 SVD 则给所有状态平权。
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