更改

# 对 <math>P</math> 进行矩阵的[[特征值分解]]，得到特征值集合 <math>\Lambda=\{\lambda_i\}^N_{i=1}</math> 与特征向量集合 <math>E=\{e_i\}^N_{i=1}</math>；

# 对 <math>P</math> 进行矩阵的[[特征值分解]]，得到特征值集合 <math>\Lambda=\{\lambda_i\}^N_{i=1}</math> 与特征向量集合 <math>E=\{e_i\}^N_{i=1}</math>；

# 构建新的有偏特征向量集合 <math>E’=\{\lambda_ie_i|\lambda_i≠0\}^N_{i=1}</math>，该集合中的每个向量都被其对应的特征值加权，同时去除了零特征值及其对应的特征向量（新的状态数量为<math>N'=rank(P)</math>）。直观地说，忽略特征值为 0 的特征向量是有意义的，因为它对应了动力学中的简并性，而非零特征值及其对应特征向量则包含了丰富的网络拓扑结构信息；

# 构建新的有偏特征向量集合 <math>E’=\{\lambda_ie_i|\lambda_i≠0\}^N_{i=1}</math>，该集合中的每个向量都被其对应的特征值加权，同时去除了零特征值及其对应的特征向量（新的状态数量为 <math>N'=rank(P)</math>）。直观地说，忽略特征值为 0 的特征向量是有意义的，因为它对应了动力学中的简并性，而非零特征值及其对应特征向量则包含了丰富的网络拓扑结构信息；

# 依据 <math>E'</math> 计算状态间的相似矩阵 <math>D_{N'×N'}</math>：

# 依据 <math>E'</math> 计算状态间的相似矩阵 <math>D_{N'×N'}</math>：

## 如果状态 <math>v_i</math> 和 <math>v_j</math> 分别在对方的马尔科夫毯中，则通过新的特征向量计算两个节点的 cosine 相似性，作为两者间的相似度 <math>d_{ij}</math> 和 <math>d_{ji}</math>；

## 如果状态 <math>v_i</math> 和 <math>v_j</math> 分别在对方的马尔科夫毯中，则通过新的特征向量计算两个节点的 cosine 相似性，作为两者间的相似度 <math>d_{ij}</math> 和 <math>d_{ji}</math>；

## 否则将两个节点间的相似度设为无穷大 <math>\infty</math>（可以设个比较大的值，如10000）；

## 否则将两个节点间的相似度设为无穷大 <math>\infty</math>（可以设个比较大的值，如10000）；

# 基于相似度矩阵<math>D_{N'×N'}</math>和一个超参<math>\epsilon</math>（需要线性搜索，可以选择EI最大的参数），使用[[OPTICS]]算法（是一种基于密度的划分算法，旨在识别数据集中不同密度的划分结构）进行划分，输出对应超参<math>\epsilon</math>下的划分方式。

# 基于相似度矩阵 <math>D_{N'×N'}</math> 和一个超参 <math>\epsilon</math>（需要线性搜索，可以选择EI最大的参数），使用[[OPTICS]]算法（是一种基于密度的划分算法，旨在识别数据集中不同密度的划分结构）进行划分，输出对应超参 <math>\epsilon</math> 下的划分方式。

该方案的时间复杂度为<math>O(N^3)</math>。

该方案的时间复杂度为<math>O(N^3)</math>。

'''缺点'''：

'''缺点'''：

# 对大规模动力学进行粗粒化时，对转移矩阵进行特征值分解的计算复杂度也较高

# 对大规模动力学进行粗粒化时，对转移矩阵进行特征值分解的计算复杂度也较高

# 聚类算法所需的距离超参<math>\epsilon</math>需要线性搜索，需要加入人为的先验知识

# 聚类算法所需的距离超参 <math>\epsilon</math> 需要线性搜索，需要加入人为的先验知识

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===寻找成块划分的谱分解方法===

===寻找成块划分的谱分解方法===

当马尔科夫矩阵存在块状结构，或者状态明显可以被划分为几类时，根据这样的划分，该矩阵就是成块的。对于简单的<math>P</math>，如图6中的<math>\bar{P}</math>所示，我们能够很快找出它的成块划分<math>\Phi</math>。然而在实际应用中，我们经常遇到的矩阵并不完美。例如，成块矩阵的状态排序可能被打乱（如图（6）中的<math>P_1</math>），或者矩阵中混入了如<math>P_2</math>这样的噪声（如图6中的<math>P</math>，<math>P = P_1 + P_2</math>，<math>P_1^TP_2 = 0</math>）。在这种情况下，我们通常面临的是像<math>P</math>这样的矩阵：既无法确定它是否成块，也无法决定它的划分，甚至不知道它的马尔科夫秩。

当马尔科夫矩阵存在块状结构，或者状态明显可以被划分为几类时，根据这样的划分，该矩阵就是成块的。对于简单的 <math>P</math>，如图6中的 <math>\bar{P}</math> 所示，我们能够很快找出它的成块划分 <math>\Phi</math>。然而在实际应用中，我们经常遇到的矩阵并不完美。例如，成块矩阵的状态排序可能被打乱（如图（6）中的 <math>P_1</math>），或者矩阵中混入了如 <math>P_2</math> 这样的噪声（如图6中的 <math>P</math>，<math>P = P_1 + P_2</math>，<math>P_1^TP_2 = 0</math>）。在这种情况下，我们通常面临的是像 <math>P</math> 这样的矩阵：既无法确定它是否成块，也无法决定它的划分，甚至不知道它的马尔科夫秩。

[[文件:Lump fig1.png|缩略图|398x398像素|图6：Zhang<ref name=":4" /> 文章中的示意图。图中左面四个矩阵都是成块的马尔科夫矩阵，而右面的P_2是一个噪声矩阵，(P_1)^T P_2 = 0|替代=]]

[[文件:Lump fig1.png|缩略图|398x398像素|图6：Zhang<ref name=":4" /> 文章中的示意图。图中左面四个矩阵都是成块的马尔科夫矩阵，而右面的P_2是一个噪声矩阵，(P_1)^T P_2 = 0|替代=]]

# 获取一个 <math>n\times n</math> 维的马尔科夫矩阵 <math>P</math>，或者马尔科夫链的频率采样，并由此得到频率矩阵 <math>F</math>；

# 获取一个 <math>n\times n</math> 维的马尔科夫矩阵 <math>P</math>，或者马尔科夫链的频率采样，并由此得到频率矩阵 <math>F</math>；

# 获取马尔科夫秩<math>r<n</math>，或指定一个<math>r</math>；

# 获取马尔科夫秩 <math>r<n</math>，或指定一个 <math>r</math>；

# 对 <math>F</math> 进行 SVD 分解，<math>F = U \Sigma V^T</math>，其中 <math>U</math> 为左奇异向量，<math>V</math> 为右奇异向量，<math>\Sigma = diag(\sigma_{1},\sigma_{2},...,\sigma_{N})</math> 是一个对角矩阵，包含所有有序奇异值；

# 对 <math>F</math> 进行 SVD 分解，<math>F = U \Sigma V^T</math>，其中 <math>U</math> 为左奇异向量，<math>V</math> 为右奇异向量，<math>\Sigma = diag(\sigma_{1},\sigma_{2},...,\sigma_{N})</math> 是一个对角矩阵，包含所有有序奇异值；

# 通过下列公式得到最优划分 <math>\Omega_1, \Omega_2, ... , \Omega_r</math>

# 通过下列公式得到最优划分 <math>\Omega_1, \Omega_2, ... , \Omega_r</math>