更改

非线性中心 (查看源代码)

2026年4月14日 (二) 17:24的版本

添加1,064字节、 2026年4月14日 (星期二)

小

无编辑摘要

第12行：第12行：

在非线性动力学中，假定某一系统 <math>\dot{x} = f(x)</math> ,该系统具有一个实值连续函数 <math>E(x)</math> 且在轨道上是恒定的，即 <math>\frac{dE}{dt} =0</math> ,则称此具有一个守恒量的系统为'''保守系统'''<ref>STROGATZ S H. 非线性动力学与混沌[M]. 孙梅, 汪小帆, 译. 2版. 北京: 机械工业出版社, 2017</ref>。

+

===案例===

+

一个质子<math>m</math>在非线性力<math>F(x)</math>下沿<math>x</math>轴移动。假设<math>F</math>是关于<math>\dot{x}</math>和<math>t</math>是独立的；且没有任何摩擦或阻力，且驱动力是不随时间变化的。此时能量守恒

+

:<math>m\ddot{x}</math>=F(x)

+

定义势能<math>V(x)</math>，有<math>F(x)=-\frac{dV}{dx}</math>，有

+

:<math>m\ddot{x}+\frac{dV}{dx}=0</math>

+

两边同时乘以<math>\dot{x}</math>，得到一个关于时间的导数

+

:<math>m\dot{x}\ddot{x}+\frac{dV}{dx}=0 \Rightarrow \frac{d}{dt}[\dfrac{1/2}m\dot{x}^2+V(x)]=0</math>

+

对于一个特定的解<math>x(t)</math>，总能量不随时间变化

+

:<math>E=\dfrac{1}{2}m\dot{x}^2+V(x)</math>

+

该系统则为保守系统。

=== 性质 ===

* 一个保守系统不会存在任何吸引不动点。[[文件:保守系统的非线性中心示例图.png|缩略图|图1：双阱系统能量等高线图及其相平面投影|right|300px]]

== '''保守系统的非线性中心''' ==

−

考虑系统 <math>\dot{x} = f(x)</math> ，其中点 <math>x ＝ (x, y)\in \mathbb{R}^2</math> ，且 <math> f</math> 是连续可导的。假设存在一个守恒量 <math>E(x)</math> , <math>x^*</math> 是一个孤立不动点（在它的一个小邻域内没有其他不动点)。如果 <math> f</math> 是 <math>E</math> 的局部极小值，那么所有足够接近 <math>x^*</math> ~~的轨迹都是闭合的。~~

+

考虑系统 <math>\dot{x} = f(x)</math> ，其中点 <math>x ＝ (x, y)\in \mathbb{R}^2</math> ，且 <math> f</math> 是连续可导的。假设存在一个守恒量 <math>E(x)</math> , <math>x^*</math> 是一个孤立不动点（在它的一个小邻域内没有其他不动点)。如果 <math> f</math> 是 <math>E</math> 的局部极小值，那么所有足够接近 <math>x^*</math> 的轨迹都是闭合的。故<math>x^*</math> 是非线性中心。

第28行：第38行：

:<math>\dot{x} = f(x, y)</math>

:<math>\dot{y} = g(x, y)</math>

+

其中<math>f</math>是关于<math>y</math>的奇函数，<math>g</math>关于<math>y</math>的偶函数，并且<math>f</math>和<math>g</math>都是可逆的。

假定系统是可逆的。如果无限接近起点，所有的轨道都是闭曲线。

+

若线性化处理一个可逆系统，发现有一个中心点，则该中心点就是该系统的非线性中心。

=='''参考资料'''==

王晔

175

个编辑