更改

===定义===

===定义===

如果存在一个相空间到自身的映射 <math>R(\mathbf{x})</math>，满足 <math>R^2(\mathbf{x}) = \mathbf{x}</math>（即 <math>R</math> 是一个对合变换），使得系统 <math>\dot{\mathbf{x}} = \mathbf{f}(\mathbf{x})</math> 在变换 <math>t \to -t</math>，<math>\mathbf{x} \to R(\mathbf{x})</math> 下保持不变，则称该系统为'''可逆系统'''。

如果存在一个相空间到自身的映射 <math>R(\mathbf{x})</math>，满足 <math>R^2(\mathbf{x}) = \mathbf{x}</math>（即 <math>R</math> 是一个对合变换），使得系统 <math>\dot{\mathbf{x}} = \mathbf{f}(\mathbf{x})</math> 在变换 <math>t \to -t</math>，<math>\mathbf{x} \to R(\mathbf{x})</math> 下保持不变，则称该系统为'''可逆系统'''。

最常见的二维情形是系统具有关于 <math>x</math> 轴的反射对称性：即变换 <math>t \to -t</math>，<math>y \to -y</math> 保持系统不变。这等价于要求方程 <math>\dot{x} = f(x,y)</math>，<math>\dot{y} = g(x,y)</math> 中的 <math>f</math> 关于 <math>y</math> 是奇函数（<math>f(x,-y) = -f(x,y)</math>），且 <math>g</math> 关于 <math>y</math> 是偶函数（<math>g(x,-y) = g(x,y)</math>）。

最常见的二维情形是系统具有关于 <math>x</math> 轴的反射对称性：即变换 <math>t \to -t</math>，<math>y \to -y</math> 保持系统不变。这等价于要求方程 <math>\dot{x} = f(x,y)</math>，<math>\dot{y} = g(x,y)</math> 中的 <math>f</math> 关于 <math>y</math> 是奇函数（<math>f(x,-y) = -f(x,y)</math>），且 <math>g</math> 关于 <math>y</math> 是偶函数（<math>g(x,-y) = g(x,y)</math>）。

=== 定理（可逆系统的非线性中心）===

=== 定理（可逆系统的非线性中心）===

假设原点 <math>\mathbf{x}^* = \mathbf{0}</math> 是一个连续可微可逆系统的'''线性中心'''。若系统是可逆的，则原点也是一个'''非线性中心'''，即所有充分接近原点的轨迹都是闭合的。

假设原点 <math>\mathbf{x}^* = \mathbf{0}</math> 是一个连续可微可逆系统的'''线性中心'''。若系统是可逆的，则原点也是一个'''非线性中心'''，即所有充分接近原点的轨迹都是闭合的。

'''证明思路：''' 考虑一条从正 <math>x</math> 轴出发靠近原点的轨迹。由于线性部分是中心，该轨迹将绕原点旋转并最终与负 <math>x</math> 轴相交。利用可逆性，将轨迹关于 <math>x</math> 轴反射并反转时间方向，将得到一条具有相同端点但箭头相反的轨迹。这两条轨迹共同构成一个闭合曲线。因此原点被一族闭轨包围。

'''证明思路：''' 考虑一条从正 <math>x</math> 轴出发靠近原点的轨迹。由于线性部分是中心，该轨迹将绕原点旋转并最终与负 <math>x</math> 轴相交。利用可逆性，将轨迹关于 <math>x</math> 轴反射并反转时间方向，将得到一条具有相同端点但箭头相反的轨迹。这两条轨迹共同构成一个闭合曲线。因此原点被一族闭轨包围。