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'''证明思路：''' 由于能量沿轨迹守恒，每条轨迹都位于 <math>E(\mathbf{x})</math> 的某一等高线上。在局部极值点附近，等高线是闭合的。又因假设 <math>\mathbf{x}^*</math> 是孤立不动点，故在该点的小邻域内，等高线上不存在其他不动点，因此轨迹必定沿着闭合等高线运动，形成周期轨道。
'''证明思路：''' 由于能量沿轨迹守恒，每条轨迹都位于 <math>E(\mathbf{x})</math> 的某一等高线上。在局部极值点附近，等高线是闭合的。又因假设 <math>\mathbf{x}^*</math> 是孤立不动点，故在该点的小邻域内，等高线上不存在其他不动点，因此轨迹必定沿着闭合等高线运动，形成周期轨道。
'''内在联系：'''
该定理揭示了保守系统结构与非线性中心之间的因果联系。在一般非线性系统中，线性化分析所得的中心极易因非线性项的扰动而失去闭合性，演化为螺旋收敛或发散的焦点。然而，保守系统固有的能量守恒性质排除了此种演变：若轨迹以螺旋方式趋近或远离不动点，则其守恒量将随时间单调变化，这与守恒量沿轨迹恒定的定义相矛盾。由此推知，只要不动点对应于守恒量的局部极值，其邻近轨迹便被约束于闭合的等高线上，从而保证了非线性中心的存在。
假设原点 <math>\mathbf{x}^* = \mathbf{0}</math> 是一个连续可微可逆系统的'''线性中心'''。若系统是可逆的，则原点也是一个'''非线性中心'''，即所有充分接近原点的轨迹都是闭合的。
假设原点 <math>\mathbf{x}^* = \mathbf{0}</math> 是一个连续可微可逆系统的'''线性中心'''。若系统是可逆的，则原点也是一个'''非线性中心'''，即所有充分接近原点的轨迹都是闭合的。
'''证明思路：''' 考虑一条从正 <math>x</math> 轴出发靠近原点的轨迹。由于线性部分是中心，该轨迹将绕原点旋转并最终与负 <math>x</math> 轴相交。利用可逆性，将轨迹关于 <math>x</math> 轴反射并反转时间方向，将得到一条具有相同端点但箭头相反的轨迹。这两条轨迹共同构成一个闭合曲线。因此原点被一族闭轨包围。
'''证明思路：''' 考虑一条从正 <math>x</math> 轴出发靠近原点的轨迹。由于线性部分是中心，该轨迹将绕原点旋转并最终与负 <math>x</math> 轴相交。利用可逆性，将轨迹关于 <math>x</math> 轴反射并反转时间方向，将得到一条具有相同端点但箭头相反的轨迹。这两条轨迹共同构成一个闭合曲线。因此原点被一族闭轨包围。
'''判定逻辑：'''
该定理表明，可逆系统所具备的时间反演对称性为非线性中心提供了独立于能量守恒的稳定性机制。即便系统不满足保守条件，只要其在时间反演与空间反射的复合变换下保持不变，线性中心便具有抵御非线性扰动的能力。其几何解释为：若非线性扰动致使闭合轨迹转变为向内螺旋的焦点，则由可逆性推知其反射逆像必然形成向外螺旋的轨迹。此种轨迹行为与微分方程解的唯一性相冲突，因而在可逆系统中，线性中心在非线性扰动下仍保持为闭合轨迹族，即构成非线性中心。
=== 示例：无阻尼钟摆 ===
=== 示例：无阻尼钟摆 ===