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第138行： − '''梯度系统'''（gradient system）是最直接的一类。若 <math>n</math> 维系统可以写成+ + + + + + + + + + + + + + + +
→梯度系统
====梯度系统====
====梯度系统====
梯度系统（gradient system）是最直接的一类。若 <math>n</math> 维系统可以写成
: <math>\mathbf{x}' = -\nabla V(\mathbf{x})</math>
: <math>\mathbf{x}' = -\nabla V(\mathbf{x})</math>
其中 <math>V : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}</math> 为光滑势函数（potential function），则沿任意轨道计算 <math>V</math> 的时间导数，得
其中 <math>V : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}</math> 为光滑势函数（potential function），则沿任意轨道计算 <math>V</math> 的时间导数，得
: <math>\frac{d}{dt}V(\mathbf{x}(t)) = \nabla V(\mathbf{x})\cdot \mathbf{x}' = -|\nabla V(\mathbf{x})|^2 \leq 0.</math>
: <math>\frac{d}{dt}V(\mathbf{x}(t)) = \nabla V(\mathbf{x})\cdot \mathbf{x}' = -|\nabla V(\mathbf{x})|^2 \leq 0.</math>
这说明 <math>V</math> 沿轨道单调不增，且在非平衡点处严格递减——系统始终沿势函数下降最快的方向运动。而周期轨道要求系统在一个周期后回到初始状态，<math>V</math> 的值也必须恢复原值，这与上述严格单调性矛盾。因此，任意维度的梯度系统中均不可能存在闭轨道或极限环。<ref name="Strogatz" />
这说明 <math>V</math> 沿轨道单调不增，且在非平衡点处严格递减——系统始终沿势函数下降最快的方向运动。而周期轨道要求系统在一个周期后回到初始状态，<math>V</math> 的值也必须恢复原值，这与上述严格单调性矛盾。因此，任意维度的梯度系统中均不可能存在闭轨道或极限环。<ref name="Strogatz" />
'''示例：''' 考虑系统
<math display="block">
\begin{cases}
\dot{x} = -x, \\
\dot{y} = -y.
\end{cases}
</math>
该系统可写成梯度形式 <math>\mathbf{x}' = -\nabla V</math>，其中 <math>V(x,y) = \frac{1}{2}(x^2 + y^2)</math>。
计算得
<math display="block">
\dot{V} = -x^2 - y^2 \leq 0,
</math>
且仅在原点处取等。因此 <math>V</math> 沿轨道严格单调递减，系统不可能存在任何闭轨道或极限环。<ref name="Strogatz" />
====李雅普诺夫函数 ====
====李雅普诺夫函数 ====