812
个编辑
更改
跳到导航
跳到搜索
第34行：
第34行： − + 第117行：
第117行： + + − + − 符合成块性的粗粒化方案有很多很好的性质，如保证了对宏观层面上的最大预测性、保证了微观与宏观过程的一致性等。这使得成块性成为马尔科夫链维度约简研究中最常用的标准之一。+ 第147行：
第149行： − 满足这个条件后，我们就可以将<math>A_j</math>中的所有微观状态<math>s_l</math>合并为一个宏观状态<math>A_j</math>，因为它们从其他宏观状态的转入概率是一致的。同样的，我们也可以将<math>A_i</math>中的所有微观状态<math>s_k</math>合并为一个宏观状态<math>A_i</math>，因为这些微观状态<math>s_k</math>（和<math>A_i</math>）到其他宏观状态的转出概率是一致的。+ 第193行：
第195行： − 我们在[[马尔科夫链的成块性]]中推导了结论：'''基于成块性划分的粗粒化方法满足粗粒化和动力学这两个算子的可交换性。'''+ + 第202行：
第205行： + + + + 第335行：
第342行： − + 第465行：
第472行： + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + 第472行：
第507行： − + + + + + + + + + + + + + + + + + − 基于可逆性的因果涌现理论与其他因果涌现理论最大的区别在于：它不需要指定粗粒化策略，仅从马尔科夫转移矩阵的奇异值谱就能判断因果涌现是否发生，并直接定义'''清晰因果涌现'''（clear causal emergence）和'''模糊因果涌现'''（vague causal emergence）的概念。这在一定程度上规避了因果涌现结果依赖粗粒化策略、以及最大化有效信息难以优化求解的问题。其次，这套理论指出，一个动力系统的因果涌现特性仅由系统线性化算符的奇异值谱决定，因而是一套更能反映系统动力学特性本身的因果涌现理论。相关详情请参照[[基于可逆性的因果涌现理论]]词条。 + 第736行：
第787行： − 由于入流是多对一关系而出流是一对多，计算大节点的入流比较简单，而计算大节点的出流则相对复杂，需要考虑待聚合节点之间的随机游走和状态分布，来计算流向每个节点的概率。我们可以把出流聚合看作对若干行做线性加权平均。+ 第744行：
第795行： − 但是，这种情况只适用于成块的状态划分：由于成块性要求同属一组的微观状态转移到另一组的概率相同，所以这样的平权平均没有问题（成块划分使用任意非负且和为一的权重都会有相同的结果）。但当我们对不成块的状态划分进行平权平均时，会导致宏观和微观的马尔科夫动力学不一致。+ 第773行：
第824行： + + 第780行：
第833行： − + 第798行：
第851行： + + + + + + + + +
无编辑摘要
本词条只讨论离散时间马尔科夫链，且动力学 <math>P</math> 是时齐（不随时间变化）的，不讨论连续马尔科夫过程。我们定义微观状态空间为<math>S=\{s_1, s_2, ... ,s_n\}</math>，微观转移函数<math>P \in \mathcal{R}_{n \times n}</math>是一个大小为 n 的马尔科夫矩阵。同样，粗粒化后的宏观状态空间为<math>S'=\{s'_1, s'_2, ... ,s'_r\}</math>，宏观转移函数<math>P' \in \mathcal{R}_{r \times r}</math>。
本词条只讨论离散时间马尔科夫链，且动力学 <math>P</math> 是时齐（不随时间变化）的，不讨论连续马尔科夫过程。我们定义微观状态空间为<math>S=\{s_1, s_2, ... ,s_n\}</math>，微观转移函数<math>P \in \mathcal{R}_{n \times n}</math>是一个大小为 n 的马尔科夫矩阵。同样，粗粒化后的宏观状态空间为<math>S'=\{s'_1, s'_2, ... ,s'_r\}</math>，宏观转移函数<math>P' \in \mathcal{R}_{r \times r}</math>。
多数文献中会出现如图1的定义<ref name=":2">Coarse graining. ''Encyclopedia of Mathematics.'' URL: <nowiki>http://encyclopediaofmath.org/index.php?title=Coarse_graining&oldid=16170</nowiki></ref>：
多数文献中会出现如图1的定义<ref name=":7" /></ref>：
[[文件:马尔科夫链的粗粒化定义.png|替代=|图1：粗粒化定义]]
[[文件:马尔科夫链的粗粒化定义.png|替代=|图1：粗粒化定义]]
对于马尔科夫链，粗粒化时我们通常希望得到一个新的马尔科夫过程：宏观态的转移只依赖当前宏观态，而不依赖更久远的历史。式子（2）说明了，如果粗粒化满足可交换性，那么宏观过程可以写成一个真正意义上的马尔科夫链，拥有一个明确的宏观转移矩阵 <math>P'</math>，而且宏观态的演化不需要记忆“刚才具体是哪个微观态导致了这个宏观态”。如果不满足，那宏观态的演化一般会带有记忆效应，未来的转移概率还会依赖这个宏观态是如何形成的，也就是依赖过去的轨迹。
对于马尔科夫链，粗粒化时我们通常希望得到一个新的马尔科夫过程：宏观态的转移只依赖当前宏观态，而不依赖更久远的历史。式子（2）说明了，如果粗粒化满足可交换性，那么宏观过程可以写成一个真正意义上的马尔科夫链，拥有一个明确的宏观转移矩阵 <math>P'</math>，而且宏观态的演化不需要记忆“刚才具体是哪个微观态导致了这个宏观态”。如果不满足，那宏观态的演化一般会带有记忆效应，未来的转移概率还会依赖这个宏观态是如何形成的，也就是依赖过去的轨迹。
<br/>
==成块性==
==成块性==
[[马尔科夫链的成块性]]（Lumpability）是一种描述马尔科夫链是否可聚类或可粗粒化的概念，最早由Kemeny和Snell在其1969年著作Finite Markov Chains<ref name=":1">Kemeny, John G., and J. Laurie Snell. ''Finite markov chains''. Vol. 26. Princeton, NJ: van Nostrand, 1969. https://www.math.pku.edu.cn/teachers/yaoy/Fall2011/Kemeny-Snell_Chapter6.3-4.pdf</ref>中阐述。Lump一词有“块”的意思。判断一个[[马尔科夫链]]是否可成块（lumpable），就是判定是否存在一种状态划分方式，能够将原始马尔科夫链压缩为一条保留其动力学特征的简化链。这种划分需确保：虽然抹除了聚类内部状态的微观差异，但能精确保持块间转移机制。这一特性为状态空间的合理划分提供了严格的数学判据。
上一节说的可交换性给出了粗粒化最理想的要求：无论先在微观演化再粗粒化，还是先粗粒化再在宏观演化，最后得到的宏观分布都应当一致。但这个要求本身还不是一个方便检查的划分条件。对于马尔科夫链来说，成块性（Lumpability）正是可交换性的一个具体判据。我们在[[马尔科夫链的成块性]]词条中已证明，成块性和“对任意初始分布成立的精确可交换粗粒化”是等价的。
[[马尔科夫链的成块性]]最早由 Kemeny 和 Snell 在其 1969 年著作 ''Finite Markov Chains''<ref name=":1">Kemeny, John G., and J. Laurie Snell. ''Finite markov chains''. Vol. 26. Princeton, NJ: van Nostrand, 1969. https://www.math.pku.edu.cn/teachers/yaoy/Fall2011/Kemeny-Snell_Chapter6.3-4.pdf</ref> 中阐述。Lump 一词有“块”的意思。判断一条[[马尔科夫链]]是否可成块，就是判断是否存在一种状态划分，能够把原始链压缩成一条保留块间转移机制的简化链。换句话说，成块性回答的是：哪些微观状态可以被合并，而不会让宏观过程产生额外的记忆效应。这种划分需确保：虽然抹除了聚类内部状态的微观差异，但能精确保持块间转移机制。因此，成块性为状态空间的合理划分提供了严格的数学判据，也成为马尔科夫链维度约简中最常用的标准之一。
成块性的原始定义比较复杂，详见[[马尔科夫链的成块性]]。这里我们介绍其充分必要条件，作为一个更直观的解析。在一些文献中，作者会直接使用这一通俗版解释，而且它与原定义之间存在充分必要条件关系<ref name=":1" />。
成块性的原始定义比较复杂，详见[[马尔科夫链的成块性]]。这里我们介绍其充分必要条件，作为一个更直观的解析。在一些文献中，作者会直接使用这一通俗版解释，而且它与原定义之间存在充分必要条件关系<ref name=":1" />。
[[文件:成块性充分必要条件.png|缩略图|600像素|成块性充分必要条件实例]]
[[文件:成块性充分必要条件.png|缩略图|600像素|成块性充分必要条件实例]]
满足这个条件后，同一宏观组内的微观状态对所有宏观组的总转移概率都相同，因此可以把这些微观状态合并为一个宏观状态。合并后，宏观状态之间的转移概率可以由组内任意一个微观状态到目标宏观组的总转移概率给出。
例如，在下图中，<math>s_1</math>和<math>s_2</math>都属于<math>A_1</math>，它们到<math>A_1</math>和<math>A_2</math>的转移概率相同；同样，<math>s_3</math>和<math>s_4</math>都属于<math>A_2</math>，它们到各宏观状态的转移概率也相同。因此，<math>[[1,2], [3, 4]]</math>是<math>P</math>的一个成块划分。
例如，在下图中，<math>s_1</math>和<math>s_2</math>都属于<math>A_1</math>，它们到<math>A_1</math>和<math>A_2</math>的转移概率相同；同样，<math>s_3</math>和<math>s_4</math>都属于<math>A_2</math>，它们到各宏观状态的转移概率也相同。因此，<math>[[1,2], [3, 4]]</math>是<math>P</math>的一个成块划分。
====成块划分和粗粒化的可交换性====
====成块划分和粗粒化的可交换性====
如本节开头所述，在强成块的意义下，成块性与对任意初始分布成立的精确可交换粗粒化等价。因此，成块划分不仅给出一种状态聚合方式，也保证聚合后的宏观动力学可以独立闭合。详细推导可见[[马尔科夫链的成块性]]词条。
====一致性Consistency====
====一致性Consistency====
==因果态==
==因果态==
上一节的成块性关心的是：在给定状态划分后，宏观过程是否仍然是一条封闭的马尔科夫链。它要求同一宏观块内的微观状态，对各个宏观块具有相同的总转移概率，因此保证的是'''宏观层面的可预测性'''：知道当前宏观态，就足以预测下一步宏观态。
因果态则是一个更强的预测性概念。它并不只要求同组状态对各个宏观块的转移概率相同，而是要求这些状态对'''整个未来（微观）状态序列'''具有相同的预测分布。也就是说，因果态把所有“对未来预测等价”的历史归为一类。对于一阶马尔科夫链，如果两个微观状态属于同一个因果态，那么它们的未来分布相同，因而自然也会满足成块性所要求的宏观转移一致；但反过来，一个成块划分未必是因果态划分，因为它可能只保留了宏观转移概率，而丢掉了预测微观未来所需的信息。所以，'''因果态是较成块性更严格的概念'''。
此部分为对因果态的简略介绍，因果态相关详情请参照[[计算力学]]词条。
此部分为对因果态的简略介绍，因果态相关详情请参照[[计算力学]]词条。
==因果涌现：最大化有效信息==
==因果涌现：最大化有效信息==
[[因果涌现]]（causal emergence）是指动力系统中的一类特殊[[涌现]]现象，即系统在宏观尺度展现出更强的因果特性。特别地，对于一类[[马尔科夫动力系统]]来说，在对其状态空间进行适当[[粗粒化]]以后，形成的宏观动力学会展现出比微观更强的因果特性，也就是更大的[[有效信息]]，那么我们称该系统发生了因果涌现<ref name="ei">Hoel E P, Albantakis L, Tononi G. Quantifying causal emergence shows that macro can beat micro[J]. Proceedings of the National Academy of Sciences, 2013, 110(49): 19790-19795.</ref><ref name=":27">Hoel E P. When the map is better than the territory[J]. Entropy, 2017, 19(5): 188.</ref>。
[[因果涌现]]（causal emergence）是指动力系统中的一类特殊[[涌现]]现象，即系统在宏观尺度展现出更强的因果特性。特别地，对于一类[[马尔科夫动力系统]]来说，在对其状态空间进行适当[[粗粒化]]以后，形成的宏观动力学会展现出比微观更强的因果特性，也就是更大的[[有效信息]]，那么我们称该系统发生了因果涌现<ref name="hoel_2013" /></ref><ref name=":28">Hoel E P. When the map is better than the territory[J]. Entropy, 2017, 19(5): 188.</ref>。
===定义===
===定义===
直观地说，如果把一个马尔科夫动力学看作通信信道，那么每一状态下的概率转移就可以看作一条信息通路（information pathway）。于是，系统发生因果涌现就等价于系统中存在冗余的信息通路，也就是某些状态转移彼此相似或线性相关。消除这些冗余通路的最好办法，就是利用 SVD 找到等于零或接近于零的奇异值及其对应的奇异向量，这实际上正是最大化有效信息的精髓所在。事实上，我们可以证明，最大化宏观动力学有效信息的粗粒化方案，近似等价于将系统动力学投影到较大奇异值对应的奇异向量方向上的方案。而系统所能达到的最大信息传输效率提升（归一化的近似动力学可逆性），就可以定义为因果涌现的强度。
直观地说，如果把一个马尔科夫动力学看作通信信道，那么每一状态下的概率转移就可以看作一条信息通路（information pathway）。于是，系统发生因果涌现就等价于系统中存在冗余的信息通路，也就是某些状态转移彼此相似或线性相关。消除这些冗余通路的最好办法，就是利用 SVD 找到等于零或接近于零的奇异值及其对应的奇异向量，这实际上正是最大化有效信息的精髓所在。事实上，我们可以证明，最大化宏观动力学有效信息的粗粒化方案，近似等价于将系统动力学投影到较大奇异值对应的奇异向量方向上的方案。而系统所能达到的最大信息传输效率提升（归一化的近似动力学可逆性），就可以定义为因果涌现的强度。
下面两个 4×4 马尔科夫链展示了为什么只看转移分布之间是否相似还不够：
<math>
P_{\mathrm{lin}}=\begin{pmatrix}
0.9 & 0.1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0.1 & 0.9 \\
0.27& 0.03& 0.07& 0.63\\
0.63& 0.07& 0.03& 0.27
\end{pmatrix}
</math>
<math>
P_{\mathrm{cmp}}=\begin{pmatrix}
0.9 & 0.1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0.1 & 0.9 \\
0.63& 0.03& 0.07& 0.27\\
0.27& 0.07& 0.03& 0.63
\end{pmatrix}
</math>
在 <math>P_{\mathrm{lin}}</math> 中，第三行和第四行并不是新的独立通路，而是前两行的线性组合：
<math>
P_3=0.3P_1+0.7P_2,\qquad P_4=0.7P_1+0.3P_2
</math>
而 <math>P_{\mathrm{cmp}}</math> 使用了同样的行分布形状和同样的平均输出分布，但第三、四行不再只是前两行的线性混合。换句话说，两个矩阵在 EI 看重的分布差异上几乎被设计成一样，但在线性通路结构上不同。
所以，给定一个系统的马尔科夫转移矩阵，通过对它进行[[奇异值分解]]，我们把矩阵 <math>P</math> 的 <math>\alpha</math> 阶近似动力学可逆性定义为：
所以，给定一个系统的马尔科夫转移矩阵，通过对它进行[[奇异值分解]]，我们把矩阵 <math>P</math> 的 <math>\alpha</math> 阶近似动力学可逆性定义为：
</math>
</math>
</blockquote>
</blockquote>
其中 <math>\sigma_i</math> 是 <math>P</math> 的奇异值。'''<math>\Gamma_{\alpha}</math> 越大，说明动力学越接近可逆、冗余通路越少。'''。当 <math>\alpha=0</math> 时，<math>\Gamma_0</math> 衡量的是 <math>P</math> 的（非）简并性；而 <math>\alpha=2</math> 时，<math>\Gamma_2</math> 衡量的是 <math>P</math> 的确定性。通过调整 <math>\alpha \in \[0, 2\]</math> 来调整考虑确定性和简并性对最终可逆性度量的影响。更进一步的范数性质和技术证明，请详见[[基于可逆性的因果涌现理论]]。
其中 <math>\sigma_i</math> 是 <math>P</math> 的奇异值。'''<math>\Gamma_{\alpha}</math> 越大，说明动力学越接近可逆、冗余通路越少。'''当 <math>\alpha \to 0</math> 时，<math>\Gamma_0</math> 衡量的是 <math>P</math> 的（非）简并性；而 <math>\alpha \to 2</math> 时，<math>\Gamma_2</math> 衡量的是 <math>P</math> 的确定性。通过调整 <math>\alpha \in (0, 2)</math> 来调整考虑确定性和简并性对最终可逆性度量的影响。更进一步的范数性质和技术证明，请详见[[基于可逆性的因果涌现理论]]。
对上面两个矩阵进行计算，可以得到：
{| style="text-align: center;"
|+EI 与动力学可逆性对比
|-
!矩阵!!EI!!非零奇异值!!<math>\Gamma_0</math>!!<math>\Gamma_1</math>!!<math>\Gamma_2</math>
|-
|<math>P_{\mathrm{lin}}</math>||<math>0.559</math> bits||<math>1.281,\ 0.975</math>||<math>2</math>||<math>2.256</math>||<math>2.591</math>
|-
|<math>P_{\mathrm{cmp}}</math>||<math>0.559</math> bits||<math>1.281,\ 0.972,\ 0.074</math>||<math>3</math>||<math>2.327</math>||<math>2.591</math>
|}
这两个矩阵的 EI 完全相同，因为它们的平均输出分布相同，各行转移分布的熵也相同。也就是说，从 EI 的角度看，它们具有相同的因果效应强度。但从奇异值谱看，<math>P_{\mathrm{lin}}</math> 只有两条独立的信息通路，而 <math>P_{\mathrm{cmp}}</math> 有三条独立的信息通路。因此，<math>\Gamma_0</math> 和 <math>\Gamma_1</math> 能区分这两种动力学结构，而 EI 无法区分。
这个例子说明，<math>\Gamma_{\alpha}</math> 的优势不在于替代 EI，而在于它能刻画 EI 不敏感的'''线性冗余'''：有些状态转移在概率分布上并不相同，却可能只是已有 information pathway 的线性混合。需要注意的是，<math>\Gamma_2</math> 在这个例子中相同，因为它更接近于衡量矩阵的确定性或能量大小；真正揭示通路冗余的是更偏向秩结构的 <math>\Gamma_0</math>，以及介于二者之间的 <math>\Gamma_1</math>。
基于可逆性的因果涌现理论与其他因果涌现理论最大的区别在于：它不需要指定粗粒化策略，仅从马尔科夫转移矩阵的奇异值谱就能判断因果涌现是否发生，并直接定义'''清晰因果涌现'''（clear causal emergence）和'''模糊因果涌现'''（vague causal emergence）的概念。这在一定程度上规避了因果涌现结果依赖粗粒化策略、以及最大化有效信息难以优化求解的问题。其次，这套理论指出，一个动力系统的因果涌现特性仅由系统线性化算符的奇异值谱决定，因而是一套更能反映系统动力学特性本身的因果涌现理论。相关详情请参照[[基于可逆性的因果涌现理论]]词条。
最大化动力学可逆性的合理性，来源于这套 SVD 方案定义的因果涌现与“最大化有效信息”的因果涌现定义之间的密切关系。在[[基于有效信息的因果涌现理论|Erik Hoel 因果涌现理论]]的框架内，给定马尔科夫动力学系统的因果涌现大小依赖于粗粒化策略的选择，而最优粗粒化策略可以通过最大化宏观动力学的 EI 来寻找。
最大化动力学可逆性的合理性，来源于这套 SVD 方案定义的因果涌现与“最大化有效信息”的因果涌现定义之间的密切关系。在[[基于有效信息的因果涌现理论|Erik Hoel 因果涌现理论]]的框架内，给定马尔科夫动力学系统的因果涌现大小依赖于粗粒化策略的选择，而最优粗粒化策略可以通过最大化宏观动力学的 EI 来寻找。
==出流的聚合方法：加权平均==
==出流的聚合方法：加权平均==
由于入流是多对一关系，计算大节点的入流方式比较简单，只有一种：直接加和。而出流是一对多关系，所以计算大节点的出流则相对复杂，需要考虑待聚合节点之间的随机游走和状态分布，来计算流向每个节点的概率。我们可以把出流聚合看作对若干行做线性加权平均。
在现有方法中，很多都采用最简单的思路：对状态做权重一致的平均。当我们只看矩阵本身，认为所有状态是平等的，就会给它们分配相同权重，即<math>p_{Mi} = \frac{1}{n} \sum_{j \in M} p_{ji}</math>。
在现有方法中，很多都采用最简单的思路：对状态做权重一致的平均。当我们只看矩阵本身，认为所有状态是平等的，就会给它们分配相同权重，即<math>p_{Mi} = \frac{1}{n} \sum_{j \in M} p_{ji}</math>。
但是，这种情况只适用于成块的状态划分：由于成块性要求同属一组的微观状态转移到另一组的概率相同，所以这样的平权平均没有问题（成块划分使用任意非负且和为一的权重都会有相同的结果<ref name=":12" /><ref name=":4" />）。但当我们对不成块的状态划分进行平权平均时，会导致宏观和微观的马尔科夫动力学不一致。
</blockquote>
</blockquote>
将 <math>N'</math> 个 <math>P'_i</math> 拼在一起就能得到最终的 <math>P'</math>。可以证明，这样的粗粒化方案能够保证粗粒化操作和时间演化操作具有可交换性（证明可以参考<ref name="reversibility"/>）。
将 <math>N'</math> 个 <math>P'_i</math> 拼在一起就能得到最终的 <math>P'</math>。可以证明，这样的粗粒化方案能够保证粗粒化操作和时间演化操作具有可交换性（证明可以参考<ref name="reversibility"/>）。
按照该方法进行加和平均，得到的宏观和微观马尔科夫动力学就会满足一致条件。虽然这个方法直观明了，但它的问题在于：在系统演变到平稳分布之前，需要计算每个 <math>t</math> 时刻的状态分布概率 <math>s_j(t)</math>。在达到平稳分布前，直接使用<math>\pi</math>来聚合仍不会满足一致性，因此操作起来比较麻烦；而 HOM 的计算方式则可以解决这个问题。
按照该方法进行加和平均，得到的宏观和微观马尔科夫动力学就会满足一致条件。虽然这个方法直观明了，但它的问题在于：在系统演变到平稳分布之前，需要计算每个 <math>t</math> 时刻的状态分布概率 <math>s_j(t)</math>。在达到平稳分布前，直接使用<math>\pi</math>来聚合仍不会满足一致性，因此操作起来比较麻烦；而 HOM 的计算方式则可以解决这个问题。
===高阶网络聚类 Higher-Order Macronodes (HOM)===
===高阶网络聚类 Higher-Order Macronodes (HOM)===
在 Klein 等人的论文<ref name=":19">Klein B, Hoel E. The emergence of informative higher scales in complex networks[J]. Complexity, 2020, 20201-12.</ref>，以及 Griebenow 等人<ref name=":Griebenow">Griebenow R, Klein B, Hoel E. Finding the right scale of a network: efficient identification of causal emergence through spectral clustering[J]. arXiv preprint arXiv:190807565, 2019.</ref>的文献中，作者采用了高阶依赖项建模（[[HOMs]]）<ref name="HOMs">Xu, J., Wickramarathne, T. L., & Chawla, N. V. Representing higher-order dependencies in networks[J]. Science advances, 2016, 2(5), e1600028.</ref>来对网络节点进行聚合。其目的是保证聚合后的宏观网络与原始微观网络具有相同的随机游走动力学特性。该方法也可以用于合并马尔科夫链的状态。
在 Klein 等人的论文<ref name=":19">Klein B, Hoel E. The emergence of informative higher scales in complex networks[J]. Complexity, 2020, 20201-12.</ref>，作者采用了高阶依赖项建模（[[HOMs]]）<ref name="HOMs">Xu, J., Wickramarathne, T. L., & Chawla, N. V. Representing higher-order dependencies in networks[J]. Science advances, 2016, 2(5), e1600028.</ref>来对网络节点进行聚合。其目的是保证聚合后的宏观网络与原始微观网络具有相同的随机游走动力学特性。该方法也可以用于合并马尔科夫链的状态。
Higher-order Macronodes 是由 Jian Xu 等人<ref name="HOMs" />提出的一种方法：根据给定的微观马尔科夫链和节点划分方案，得出一个与微观转移矩阵保持一致的宏观转移矩阵。下面将简单介绍构建宏观 HOM 转移概率矩阵的计算方法。具体方法请参考[[网络归并]]。
Higher-order Macronodes 是由 Jian Xu 等人<ref name="HOMs" />提出的一种方法：根据给定的微观马尔科夫链和节点划分方案，得出一个与微观转移矩阵保持一致的宏观转移矩阵。下面将简单介绍构建宏观 HOM 转移概率矩阵的计算方法。具体方法请参考[[网络归并]]。
<br/>
<br/>
本文介绍的粗粒化文章使用上述策略的情况如下：
# 任意权重：所有成块性/可交换性文章<ref name=":12" /><ref name=":4" /><ref name=":1" /><ref name=":23" /><ref name=":24" />
# 平权：Erik Hoel的两篇因果涌现文章<ref name="hoel_2013" /><ref name=":28" />
# 平稳分布权重：Griebenow & Klein & Erik Hoel 在网络上的因果涌现<ref name=":Griebenow" />、动力学可逆性<ref name="reversibility" />、Barnett & Anil Seth的动力学解耦<ref name=":26" />
# HOM：Klein & Erik Hoel 另一篇在网络上的因果涌现 <ref name=":19" />
Barnett & Seth 的动力学解耦文章中<ref name=":26" /> 把宏观变量定义为确定性粗粒化 <math>Y_t=f(X_t)</math>，实际上用到了平稳分布加权平均。如果我们额外假设微观过程 <math>X_t</math> 是有限状态一阶 Markov 链，且忽略或不显式保留 <math>Y</math> 的历史依赖，那么宏观块 <math>M</math> 的出流应按组内微观状态在平稳分布下的条件概率加权：<math>P'_{MN}=\sum_{i\in M} \frac{\pi_i}{\sum_{k\in M}\pi_k} \sum_{j\in N}P_{ij}</math>。因此，在这些附加假设下，它可以归为平稳分布加权聚合。
=复杂网络中的粗粒化方法=
=复杂网络中的粗粒化方法=