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→因果涌现：最大化有效信息
其中 <math>\bar{P}</math> 是转移矩阵各行的平均转移向量。这个表达式说明，EI 本质上度量的是：不同初始状态所对应的转移分布，与“平均转移分布”之间到底有多可区分。若各行彼此差异很大，动力学的因果效应就更强；若各行非常相似，EI 就会较小。
其中 <math>\bar{P}</math> 是转移矩阵各行的平均转移向量。这个表达式说明，EI 本质上度量的是：不同初始状态所对应的转移分布，与“平均转移分布”之间到底有多可区分。若各行彼此差异很大，动力学的因果效应就更强；若各行非常相似，EI 就会较小。
下表展示的是三个不同的转移概率矩阵，以及它们的EI数值：
下表展示的是三个不同的转移概率矩阵，以及它们的EI数值：
===最大化有效信息的划分===
===最大化有效信息的划分===
前面提到，对马尔科夫链做粗粒化的一个动机，就是想抹除一些微观动力学上的噪音，从而得到在宏观上更具规律性和因果性的动力学。所以，我们可以利用 EI 这一马尔科夫链的因果效应度量，来衡量聚类后宏观动力学的因果强度。
但是，EI 的大小和状态空间大小有关，这一性质在比较不同尺度的[[马尔科夫链]]时很不方便。我们需要一个尽可能不受尺度效应影响的[[因果效应度量]]，因此需要对有效信息 EI 做归一化处理，得到一个和系统尺寸无关的量化指标。根据[[Erik Hoel]]和[[Tononi]]等人的工作，应使用[[均匀分布]]即[[最大熵分布]]下的熵值 <math>\log N</math> 作为分母对 EI 进行归一化，这里的[math]N[/math]为状态空间[math]\mathcal{X}[/math]中的状态数<ref name="hoel_2013">{{cite journal|last1=Hoel|first1=Erik P.|last2=Albantakis|first2=L.|last3=Tononi|first3=G.|title=Quantifying causal emergence shows that macro can beat micro|journal=Proceedings of the National Academy of Sciences|volume=110|issue=49|page=19790–19795|year=2013|url=https://doi.org/10.1073/pnas.1314922110}}</ref>。那么归一化后的 EI 为：
但是，EI 的大小和状态空间大小有关，这一性质在比较不同尺度的[[马尔科夫链]]时很不方便。我们需要一个尽可能不受尺度效应影响的[[因果效应度量]]，因此需要对有效信息 EI 做归一化处理，得到一个和系统尺寸无关的量化指标。根据[[Erik Hoel]]和[[Tononi]]等人的工作，应使用[[均匀分布]]即[[最大熵分布]]下的熵值 <math>\log N</math> 作为分母对 EI 进行归一化，这里的[math]N[/math]为状态空间[math]\mathcal{X}[/math]中的状态数<ref name="hoel_2013">{{cite journal|last1=Hoel|first1=Erik P.|last2=Albantakis|first2=L.|last3=Tononi|first3=G.|title=Quantifying causal emergence shows that macro can beat micro|journal=Proceedings of the National Academy of Sciences|volume=110|issue=49|page=19790–19795|year=2013|url=https://doi.org/10.1073/pnas.1314922110}}</ref>。那么归一化后的 EI 为：