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直观地说，如果把一个马尔科夫动力学看作通信信道，那么每一状态下的概率转移就可以看作一条信息通路（information pathway）。于是，系统发生因果涌现就等价于系统中存在冗余的信息通路，也就是某些状态转移彼此相似或线性相关。消除这些冗余通路的最好办法，就是利用 SVD 找到等于零或接近于零的奇异值及其对应的奇异向量，这实际上正是最大化有效信息的精髓所在。事实上，可以证明，最大化宏观动力学有效信息的粗粒化方案，近似等价于将系统动力学投影到较大奇异值对应的奇异向量方向上的方案<ref name="reversibility"/>。而系统所能达到的最大信息传输效率提升（归一化的近似动力学可逆性），就可以定义为因果涌现的强度。

直观地说，如果把一个马尔科夫动力学看作通信信道，那么每一状态下的概率转移就可以看作一条信息通路（information pathway）。于是，系统发生因果涌现就等价于系统中存在冗余的信息通路，也就是某些状态转移彼此相似或线性相关。消除这些冗余通路的最好办法，就是利用 SVD 找到等于零或接近于零的奇异值及其对应的奇异向量，这实际上正是最大化有效信息的精髓所在。事实上，可以证明，最大化宏观动力学有效信息的粗粒化方案，近似等价于将系统动力学投影到较大奇异值对应的奇异向量方向上的方案<ref name="reversibility"/>。而系统所能达到的最大信息传输效率提升（归一化的近似动力学可逆性），就可以定义为因果涌现的强度。

下面两个 4×4 马尔科夫链展示了为什么只看转移分布之间是否相似还不够：

根据{{EquationRef|EI}}，EI定义为[math]P[/math]中所有行向量彼此之间的相似性程度（以[[KL散度]]来衡量）。因而，通过EI最大化得到的粗粒化方案可以通过消除这些彼此相似的行向量，从而实现概率转移矩阵的粗粒化约简。但是仅考虑这种用KL散度衡量的行向量相似性是不够的，下面两个 4×4 马尔科夫链展示了另一种行向量上的冗余性：

<math>

<math>

</math>

</math>

而 <math>P_{\mathrm{cmp}}</math> 使用了同样的行分布形状和同样的平均输出分布，但第三、四行不再只是前两行的线性混合。换句话说，两个矩阵在 EI 看重的分布差异上几乎被设计成一样，但在线性通路结构上不同。

而 <math>P_{\mathrm{cmp}}</math> 使用了同样的行分布形状和同样的平均输出分布，但第三、四行不再只是前两行的线性混合。换句话说，两个矩阵在 EI 看重的分布差异上几乎被设计成一样，但在行向量彼此之间的线性相关性上则不同。诸如[math]P_{\mathrm{lin}}[/math]这样的线性相关性引起的相似性用EI就无法刻画，但却可以被近似动力学可逆性指标[math]\Gamma_{\alpha}[/math]来刻画。

所以，给定一个系统的马尔科夫转移矩阵，通过对它进行[[奇异值分解]]，我们把矩阵 <math>P</math> 的 <math>\alpha</math> 阶近似动力学可逆性定义为：

所以，给定一个系统的马尔科夫转移矩阵，通过对它进行[[奇异值分解]]，我们把矩阵 <math>P</math> 的 <math>\alpha</math> 阶近似动力学可逆性定义为：

对上面两个矩阵进行计算，可以得到：

对上面两个矩阵进行计算，可以得到：

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|+EI 与动力学可逆性对比

|+EI 与动力学可逆性对比

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