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→与因果涌现理论的关系
====相似点====
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事实上，之所以该理论可以作为对最大化有效信息因果涌现方案的近似替代，是因为对于任意的时齐马尔可夫过程，近似动力学可逆性的对数近似等价于有效信息（[math]\log\Gamma_{\alpha}\sim EI[\math]），即指标[math]\Gamma[/math]与[[有效信息]]高度相关，因此它也可以用来刻画动力学的[[因果效应强度]]，因此'''因果涌现其实也可以近似等价于近似动力学可逆性的涌现'''。
事实上，之所以该理论可以作为对最大化有效信息因果涌现方案的近似替代，是因为对于任意的时齐马尔可夫过程，近似动力学可逆性的对数近似等价于有效信息（[math]\log\Gamma_{\alpha}\sim EI[/math]），即指标[math]\Gamma_{\alpha}[/math]与[[有效信息]]高度相关，因此它也可以用来刻画动力学的[[因果效应强度]]，因此'''因果涌现其实也可以近似等价于近似动力学可逆性的涌现'''。
我们可以通过最大化EI来寻找最优的马尔可夫链的粗粒化方案，自然也可以通过最大化近似动力学可逆性[math]\Gamma_{\alpha}[/math]来寻找最优的粗粒化方案，只不过在动力学可逆性理论中，这个最大化求解过程可以直接通过对转移概率矩阵进行[[奇异值分解]]而得到。
我们可以通过最大化EI来寻找最优的马尔可夫链的粗粒化方案，自然也可以通过最大化近似动力学可逆性[math]\Gamma_{\alpha}[/math]来寻找最优的粗粒化方案，只不过在动力学可逆性理论中，这个最大化求解过程可以直接通过对转移概率矩阵进行[[奇异值分解]]而得到。
基于近似动力学可逆性和SVD这套粗粒化方案的合理性，来源于其与“最大化有效信息”的因果涌现定义之间的密切关系。在[[基于有效信息的因果涌现理论|Erik Hoel 因果涌现理论]]的框架内，给定马尔科夫动力学系统的因果涌现大小依赖于粗粒化策略的选择，而最优粗粒化策略可以通过最大化宏观动力学的 EI 来寻找。
基于近似动力学可逆性和SVD这套粗粒化方案的合理性，来源于其与“最大化有效信息”的因果涌现定义之间的密切关系。在[[基于有效信息的因果涌现理论|Erik Hoel 因果涌现理论]]的框架内，给定马尔科夫动力学系统的因果涌现大小依赖于粗粒化策略的选择，而最优粗粒化策略可以通过最大化宏观动力学的 EI 来寻找。
如果把一个马尔科夫动力学看作通信信道，TPM中的每一行看作一个信息通路，那么系统发生因果涌现就等价于其中存在冗余的信息通路，也就是某些状态转移彼此相似或线性相关。消除这些冗余通路的最好办法，就是利用 SVD 找到等于零或接近于零的奇异值及其对应的奇异向量，这实际上正是最大化有效信息的精髓所在。事实上，可以证明，最大化宏观动力学有效信息的粗粒化方案，近似等价于将系统动力学投影到较大奇异值对应的奇异向量方向上的方案<ref name="reversibility"/>。而系统所能达到的最大信息传输效率提升（归一化的近似动力学可逆性），就可以定义为因果涌现的强度。
可以证明，要获得最大化有效信息的粗粒化策略，近似等价于采用向最大奇异值对应的奇异向量方向投影的策略。严格推导可见[[基于有效信息的因果涌现理论]]。由于对离散马尔科夫链来说，粗粒化策略往往是由比较严格的 0 或 1 构成的向量，因此不能简单地按奇异向量直接投影。但是，如果粗粒化策略尽可能与最大的几个奇异向量平行，就可以让粗粒化后动力学的 EI 尽可能更大。因此，最大化 EI 的必要条件近似可以理解为：向最大奇异值对应的奇异向量空间做投影。在实际应用中，粗粒化策略 <math>\phi</math> 的约束（例如宏观动力学 TPM 的分组和归一化）会阻止 <math>\phi_j</math> 与奇异向量完美对齐。因此，基于 SVD 的粗粒化策略只是最大化 EI 的近似必要条件。
可以证明，要获得最大化有效信息的粗粒化策略，近似等价于采用向最大奇异值对应的奇异向量方向投影的策略。严格推导可见[[基于有效信息的因果涌现理论]]。由于对离散马尔科夫链来说，粗粒化策略往往是由比较严格的 0 或 1 构成的向量，因此不能简单地按奇异向量直接投影。但是，如果粗粒化策略尽可能与最大的几个奇异向量平行，就可以让粗粒化后动力学的 EI 尽可能更大。因此，最大化 EI 的必要条件近似可以理解为：向最大奇异值对应的奇异向量空间做投影。在实际应用中，粗粒化策略 <math>\phi</math> 的约束（例如宏观动力学 TPM 的分组和归一化）会阻止 <math>\phi_j</math> 与奇异向量完美对齐。因此，基于 SVD 的粗粒化策略只是最大化 EI 的近似必要条件。